Durrett概率论学习记录

追数少年 2017-08-11

1.Measure theory

1.1Probability spaces

从一般的测度理论讲起,然后主要考虑所关心的概率测度.

测度空间(X B μ)

概率空间(Ω F P)

1.2Distributions

先定义random variables X (Borel sets 拉回属于F事件域),再定义分布函数

F(x)=P(X<=x)

分布函数有如下性质

然后

然后如果一个函数具有上述1-3条性质,则它一定是某随机变量的分布函数

根据这个定理我们可以根据分布函数利用电脑产生随机变量

容易知道随机变量的分布由分布函数唯一决定

再说下随机变量的分类

(1)离散型随机变量(只有可数种情况的随机变量)

(2)连续型随机变量(有密度函数的)

F(x)=∫(-无穷,x)f(x)dx

(3)奇异型随机变量(不是离散型也不是连续型的随机变量)

一个奇异型分布的例子就是cantor集上的均匀分布

另外一个有趣的例子是dense discontinuities

它是分布函数但是在所有有理点处都不是左连续的,也就是说在所有有理点处都不连续(即在一个稠密集上不连续),而他在所有无理点处连续

1.3Random variables(以下简记为r.v)

主要是知道r.v的定义 区分与可测函数的定义与联系

r.v定义的推广:R到R*(扩充实直线)

1.4Integration

1.5properties of the integral

(1.4 1.5实变函数的主要内容 有空续上)

1.6 expected value

运用1.4 1.5到概率测度上

1.7product measure and Fubini's theorem

后面有空续上

2.Laws of large numbers

2.1 independence

下面再说独立的一些充分条件。明天写。

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