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冯·诺依曼《数学在科学和社会中的作用》摘录笔记

小凡 2011-11-08
文献:冯·诺依曼,数学在科学和社会中的作用,大连理工出版社,2009年
目的:摘录诺依曼关于数学在科学中作用的洞见
方法:主题式阅读
时间:大概2个小时
笔记:摘要式和评注
pdf下载:http://ishare.iask.sina.com.cn/f/16087285.html
(分隔为三个文档part1、part2、part3,下载后放在一个目录下解压即可)

这本书实际上一个论文、报告和演讲稿合集。
我主要阅读其中与数学的作用最关联的几篇,并做了摘要笔记。具体内容请参见:
http://book.douban.com/review/5159269/
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  • 小凡
    冯诺依曼,数学在科学和社会中的作用,大连理工出版社,2009年
      
      这里特别要指出的是,冯·诺依曼反对科学研究的功利主义,认为:“在很大程度上,成功归于完全忘掉终极所求;拒不研究逐利之事,只依赖智能雅趣准则的指引;遵循此道,长远来看其实会遥遥领先,远胜于执守功利主义之所获。”并指出:“这对所有学科都是正确的!”
      p6
      
      经济学中的数学方法(1944)
      
       首先,我们应当认识到,目前的经济理论还没有一个统一的体系:而且,即使什么时候能够建立起这样一个体系,那也很可能不是在我们的有生之年完成。原因很简单:鉴于经济学家们对其所处理问题的认识非常有限,而且对有关事实的描述又很不全面,所以经济学是一门太过困难的科学,绝不可能很快就能建立起来。只有那些不了解这种情况的人,才有可能试图建立统一的经济理论体系。即使是远比经济学先进的科学,比如物理学,目前也没能得到什么统一体系。
       下面,我们继续用物理学作比。在物理学中,有时会出现这样的情况:某一个别的物理理论似乎为一个统一的体系提供了基础;然而,时至今日,所有的历史事实都表明这种状况最多不会持续+年以上的时间。当然,物理研究者们的日常工作并不是纠缠于这类崇高的目标,而是致力于解决某些“成熟的”具体问题。如果热衷于强求这一过高的标准,也许物理学根本不会有任何进步。物理学家们研究个别的问题,其中有些具有重大的实用性,有些则很少实用价值。物理学家们的上述日常工作可能会使那些原本分开而且相距甚远的领域统一起来。然而,这样的幸事是罕见的,而且只有深入探讨过每一个领域后才有可能发生。考虑到与物理学相比,经济学作为一门科学更加困难,更少被人理解,而且无疑处于更早期的发展阶段,所以,人们显然也就不能对其发展形势提出更高的要求。
      p54-55
      
      在经济学的某些分支里,最有成效的工作也许是耐心细致的解释描述;事实上,在目前和今后一段时间内,这种工作将占经济学研究的绝大部分。在另外一些分支中,也许有可能在严格的意义上发展出一套理论,而为了达到这个目的,就可能需要用到数学。
      p55
      
      要想用精确的方法处理经济问题,第一步是通过更细致的描述工作澄清人们对事物的认识。但是,即使在那些问题被描述得比较令人满意的经济学领域,数学工具也很少被恰当使用。数学工具要么用得不够,例如只是数一数方程和未知数的个数,就想确定一个一般的经济平衡问题;要么就是仅仅用于将文字叙述转化为符号表示,而没有任何进一步的数学分析。
      p58
      
       社会现象的重要性,其表现形式的丰富性和多样性及其结构的复杂性,至少是与物理学中的情况相等的。因此,人们盼望或担心的是:数学必须有能与微积分的发明相比拟的新发现,才能在社会科学领域取得决定性的成功。(顺便提一下,根据这种态度.我们现在的成就是必须要打折扣的。)况且,仅仅重复使用那些在物理学中卓有成效的方法来研究社会现象也不大可能会奏效。成功地运用那些方法解决社会问题的可能性确实是非常小的,因为大家将会看到,我们在后面的讨论中所遇到的一些数学问题与人们在物理科学中遇到的那些数学问题有极大的不同。
       请记住这些观察分析结果以及目前人们过分强调微积分、微分方程等的应用是数理经济的主要工具的现状。
      p61
      
      证明的结果。一个描述性的理论在得到严格证明之前,其实是不能作为科学理论而存在的。
      p61
      
       在每一门科学中,当通过研究那些与终极目标相比颇为朴实的问题,发展出一些可以不断加以推广的方法时,这门学科就得到了巨大的进展。自由落体是一个很平凡的物理现象,但正是对这一极其简单的事实的研究以及它与天体的比较,导致了力学的产生。
      p62
      
       我们相信,尽可能多地了解个体行为以及交换的最简单的形式是必要的。这种观点已被边际效用学派的创始人卓有成效地采用了,但是,尽管如此,它还没有被普遍接受。经济学家们常常致力于一些更大、更“热”的问题,并且把妨碍他们作出关于这些问题的结论的所有东西都扫除一清。比较先进的科学如物理学的经验告诉我们,这种性急的做法只会延误对包括那些“热点”问题的研究在内的科学研究的进展。我们没有任何理由假定在科学研究中存在捷径。
      p63
      
       大家必须认识到,经济学家们不能期望自己的运气会比其他学科的科学家更好。一种合理的预期是,经济学家们将必须首先研究经济生活中那些非常简单的事实所包含的问题,并努力建立能够解释这些问题而且符合严格的科学标准的理论。
      p63
      
      这个初始阶段必须是启发式的,也就是说,它必须是一个由对看似正确的论点进行非数学的考察到用规范的数学进行处理的过渡阶段。最后得到的理论在数学上必须是严密的,而其概念则具有一般性。它必须首先应用于那些结果从来无人置疑而且实际上也无须任何理由来解释的基本问题。在这个早期阶段,应用是用来印证理论的。然后,理论被应用于某些比较复杂的情况,这些情况的结果也许已经不再是显而易见和人所熟知的了,这时理论就发展到了一个新的阶段,这里理论和应用是相互印证的。超越了这个阶段,就达到了真正成功的境地:真正用理论做预测。众所周知,所有数学化了的科学都曾经经历过这些相继的发展阶段。
      p64
      敦注:一个学科的理论如何逐步成熟并最终能做真正的预测。
      
      数学家(1947)
      
       在我看来,关于数学最独特的事实是它与自然科学,或者更一般地,与不只限于在纯粹描述层面上解释经验的任何一门科学的特殊关系。
       大部分数学家和其他人会同意数学不是一门经验科学,或者至少它的练习方式在几个决定性的方面不同于经验科学技巧的练习。然而,它的发展与自然科学密切相关。
      p148
      
      许多最美妙的数学灵感来源于经验,而且很难相信会有绝对的、一成不变的、脱离所有人类经验的数学严密性概念。
      p159
      
      一个好的理论物理学家今天仍然可以掌握他的学科中一半以上正在使用的知识。但我怀疑现在在世的数学家中有谁能与其研究学科中四分之一以上的知识有联系。当数学的一个分支已经发展得相当深入之后,如果它深深地陷入某种困境,那就有可能出现“客观上”提出的“重要”问题。但即使在那时,数学家对于研究该问题或者放弃它转向别的问题基本上也是自由的;然而,理论物理学中的宁重要”问题,通常是“必须”解决的一个冲突,一个矛盾。数学家有大量领域可供选择,对于在这些领域中做些什么也享有很大的自由。我们来谈决定性的要点:我认为,数学家选择课题和判断成功的标准主要是美学的这种说法是正确的。
      p163
      
      数学在科学和社会中的作用(1954)p167-182
      
       现在,我进一步来讨论数学的作用,尤其是在我们思维中的作用。通常的认识是,数学是一所优秀的思维学校,它使人们习惯于逻辑思考,经历它以后你可以比没有经历它的人更有效地进行思维。我不知道所有这些说法是否正确,其中第一点可能是最无争议的。不过,我认为对于不太精确的领域中的思维而言,数学有十分重‘要的意义。我觉得,数学对我们思维最重要的贡献之一,是其概念的极大的适应性,这种适应性是其他非数学模式很难达到的。有时候可以在哲学中发现类似情形,但是,那些哲学领域通常并不太令人信服。
       我提到的适应性涉及如下内容:用规范的术语来说,它是考虑哲学家在讨论某一领域时已绞尽脑汁的一个问题,即这个领域的规律是否具有下述性质:每个事件都即刻决定直接紧随其后的事件。这是因果论的观点。另一方面,这些规律也可能是目的论的,这表示单一事件不能决定随后的事件,但是,整个过程必须被看成一个统一体,服从一个总的规律,以至于只能被作为一个整体来理解。如果我说这是一个困扰了哲学家的问题,那是在轻描淡写。它已经起了很大的作用,并且仍在起着巨大的作用,比如在生物学中。
      
      p173
      敦注:在概念的适应性方面,唯有哲学与数学有类似情形。
      
      一般来说,从一个数学发现到其应用之间会有一个时差,可能从30年到100年不等,有时甚至更长。整个数学体系似乎是在没有任何方向,没有任何实用背景,没有任何应用意愿的状态下运行的。当然,人们还须认识到,就整个科学的发展进程而言,情况也是如此。换言之,你应该考虑,大部分科学是通过什么过程而取得了在日常生活中影响社会的地位:大部分物理科学如何从力学而来,力学中的最初发现如何主要跟天文学相联系,而与其今天的应用领域毫无联系。
      p181
      
      敦随笔:诺依曼在论及数学作为工具应用到具体科学领域时,很强调两个过程:因果论过程和目的论过程。前者类似时间上的紧随和必然性。后者类似最优化过程。诺依曼似乎认为二者“是互相排斥的、高度对立的解释现象的方式”(P193)。而且同一个理论可能由两种叙述方式,比如经典力学的“牛顿描述是因果论的,达朗贝尔的描述则是目的论的”(p194),这两种方式都能准确地给出相同的结果。在诺依曼看来,最终哪个胜出取决于谁“能以更大的威力,成功地指明解释更广阔领域的途径”(p196)。
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