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为什么面积应该有定向?之我见

楚天舒 2010-07-24
一维实数线有定向,似乎还比较自然的。但面积定向似乎不够“自然”,似乎是人为的,为了计算的方便所引入的。但其实,定向的面积(乃至体积等等)才是自然的,不定向的反倒不自然。

面积定向来自于大数学家Poincare,属于“概念本天成,妙手偶得之”。

历史上,有些数学家接受负数的概念有困难,这点似乎不可思议。但其实想想我们自己在接受面积定向之初时遇到的困难,就知道,这绝对不是一个笑话。

小学生没有负数的概念,他/她心目中的长度都是正的,到了初中,也是在灌输之下,接受了负数的概念。到了大学,遇到定向面积的时候,所遇到的困惑本质上是完全一样的。

实数线有了定向,就具备了线性(这是一个一维的线性空间!),而线性是研究的最透彻的一个数学性质。y=x处理起来就很方便,而y=|x|处理起来就很麻烦。绝对值函数不仅不是线性的,而且光滑性,可微性都成问题,这也是高斯的最小二乘法不用绝对值做距离而用二次函数替代距离的一个原因。

人在生活中,其实不自觉的对长度,面积等取了一个绝对值,如此一来,在计算长度,面积的时候,也就失去了“线性”这一威力巨大的工具。面积永远取正值,其实是人的一个错觉。

当固定三角形ABC的底边AB,让C沿一条与AB垂直(不垂直也可以)的直线...
一维实数线有定向,似乎还比较自然的。但面积定向似乎不够“自然”,似乎是人为的,为了计算的方便所引入的。但其实,定向的面积(乃至体积等等)才是自然的,不定向的反倒不自然。

面积定向来自于大数学家Poincare,属于“概念本天成,妙手偶得之”。

历史上,有些数学家接受负数的概念有困难,这点似乎不可思议。但其实想想我们自己在接受面积定向之初时遇到的困难,就知道,这绝对不是一个笑话。

小学生没有负数的概念,他/她心目中的长度都是正的,到了初中,也是在灌输之下,接受了负数的概念。到了大学,遇到定向面积的时候,所遇到的困惑本质上是完全一样的。

实数线有了定向,就具备了线性(这是一个一维的线性空间!),而线性是研究的最透彻的一个数学性质。y=x处理起来就很方便,而y=|x|处理起来就很麻烦。绝对值函数不仅不是线性的,而且光滑性,可微性都成问题,这也是高斯的最小二乘法不用绝对值做距离而用二次函数替代距离的一个原因。

人在生活中,其实不自觉的对长度,面积等取了一个绝对值,如此一来,在计算长度,面积的时候,也就失去了“线性”这一威力巨大的工具。面积永远取正值,其实是人的一个错觉。

当固定三角形ABC的底边AB,让C沿一条与AB垂直(不垂直也可以)的直线“线性”的变动时,如果不引入面积定向的概念,则面积函数就失去了线性,这样处理起来就很麻烦。

有了定向,则面积,体积自然跟行列式发生联系。

总而言之,我觉得,引入负数,定向面积的绝妙之处在于保持了“线性”这一自然具有的良好性质。如此一来,后面的一切结果也就如珠落玉盘了。

各位有什么看法?请共享。
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回应 (10条) 只看楼主

  • eulen
    我覺得吧,面積定向就是從哪個方向看的問題~
    一個“面”有兩面,從一面量如果是正的,那從另一面看自然是符號相反的~
    當然這里沒有包括不可定向曲面~不過正因為它沒法分出內外,所以才“不可定向”嘛~
    以上~淺見~
  • kid271
    项武义 <几何学在文明中所扮演的角色> p34 "一个k维欧氏空间的两个定向相应于其保长变换群的两个连通区"
  • 楚天舒
    项武义 <几何学在文明中所扮演的角色> p34 "一个k维欧氏空间的两个定向相应于其保长变换群的两个连通区"

    ===
    项武义无非是说,
    反射变换--造成定向相反
    平移或旋转--保持定向
  • tunnel
    讲的挺深刻。
  • 面積有定向,是因爲volume element(一種n-form) 有兩個class。
    可惜上面的看法不是我發明的。。。。。。。。。。。。
  • 楚天舒
    一个k维欧氏空间的两个定向相应于其保长变换群的两个连通区。
    就是对应于行列式为1,和-1的两个class
  • 楚天舒
    这个线性应该是多线性。否则也不能用行列式来表示了。

    从量纲分析,n阶行列式量纲就是n维体积。

    我觉得线性在这里才是本质的,以多边形面积为例,只要知道各顶点的坐标,则多边形面积可写成
    Area(Ploygon)=a(P1P2)+...+a(PnP1)

    a为行列式
    |x_1 y_1 1|
    |x_2 y_2 1|
    | 0 0 1|
  • kid271
    如果c点沿着与ab平行的方向移动,面积不变,这个性质和线性一起正好能推出来交换变号
  • kid271
    当固定三角形ABC的底边AB,让C沿一条与AB垂直(不垂直也可以)的直线“线性”的变动时,如果不引入面积定向的概念,则面积函数就失去了线性,这样处理起来就很麻烦。
    ----------------------------------------------------------------------------------------
    lz 这个怎么引入定向的,Area(AC,AB) 表示向量AC ,AB 形成的三角形的面积,用向量CD 移动顶点C Area(AC+CD,AB)=Area(AC,AB)+Area(CD,AB)
  • tunnel
    好像这和单形联系
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