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Strongart:环的同调维数学习小结

Strongart 2010-07-22
最近读了Lam的Lectures on Modules and Ring的第五段Homological dimension,主要就是讲投射维数(pd.dim)、内射维数(id.dim)与平坦维数(fd.dim)这三个概念,这次算是基本上看清楚了。下面我就来简单小结一下,重点是放在“环←→模←→维数”间的相互联系,当然Ext与Tor函子在其中起着关键的媒介作用。

环的整体维数(gl.dim)就是相应模的维数的上确界。对模的投射维数而言,最直接的定义就是利用投射分解,但如此定义之后还得验证其唯一性,验证的关键就在于Schanuel lemma.大概正是这个原因,书中就是从Schanuel lemma开始的,然后顺便定义了投射等价的关系,借助于它定义投射维数,然后给出投射分解的等价刻画。这一套程序对内射维数的情形完全可以如法炮制,但对平坦维数相应的Schanuel lemma不成立,幸好前面已经证明了模的平坦性等价于其特征模的内射性,便可以借助特征模定义平坦等价,然后再转到这一轨道上来。

我们来看一下这些同调维数之间的关系与性质。投射分解与内射分解均与函子Ext相关,因此具有一定的对偶性,由此可以看出环的内射整体维数(r.inj.gl.dim)就是它的(投射)整体维数(r.gl.dim)。与之相应,Tor函子则是自对偶的,由此看出平坦维数的左右是一致的。此外,由于投...
最近读了Lam的Lectures on Modules and Ring的第五段Homological dimension,主要就是讲投射维数(pd.dim)、内射维数(id.dim)与平坦维数(fd.dim)这三个概念,这次算是基本上看清楚了。下面我就来简单小结一下,重点是放在“环←→模←→维数”间的相互联系,当然Ext与Tor函子在其中起着关键的媒介作用。

环的整体维数(gl.dim)就是相应模的维数的上确界。对模的投射维数而言,最直接的定义就是利用投射分解,但如此定义之后还得验证其唯一性,验证的关键就在于Schanuel lemma.大概正是这个原因,书中就是从Schanuel lemma开始的,然后顺便定义了投射等价的关系,借助于它定义投射维数,然后给出投射分解的等价刻画。这一套程序对内射维数的情形完全可以如法炮制,但对平坦维数相应的Schanuel lemma不成立,幸好前面已经证明了模的平坦性等价于其特征模的内射性,便可以借助特征模定义平坦等价,然后再转到这一轨道上来。

我们来看一下这些同调维数之间的关系与性质。投射分解与内射分解均与函子Ext相关,因此具有一定的对偶性,由此可以看出环的内射整体维数(r.inj.gl.dim)就是它的(投射)整体维数(r.gl.dim)。与之相应,Tor函子则是自对偶的,由此看出平坦维数的左右是一致的。此外,由于投射模必为平坦模,我们得到平坦维数一定是弱于投射维数的。那么平坦维数什么时候等于投射维数呢?比较粗略的条件就是Noether条件。更为精致则是在right prefect的要求下,对于任何右R-模M,有pd(M)=fd(M),因此r.gl.dim(R)=fd.dim(R),可以统领左右prefect条件的则是semiprimary ring,此时r.gl.dim(R)=fd.dim(R)=l.gl.dim(R),所有的维数都统一起来了!

实际计算环的同调维数时,我们是可以用形如R/I的模来取上确界。对于投射的情形而言,这是由于内射模有关于理想的Baer Criterion,它保证了右R-模M内射←→Ext(R/I,M)=0对任何右理想I成立;而对于平坦的情形,则也有相应的Flat Test,它保证了右R-模M平坦←→Tor(M,R/I)=0对任何左理想I成立。而对于局部环(R,m)而言,维数可以直接由其剩余域k=R/m刻画:若R是右Noether局部环,则r.gl.dim(R)=id(kR)≤pd(Rk),右边的不等式在交换的情形下可以取等号。

对于小维数的情形,我们有如下的结论:

1)r.gl.dim(R)=O←→任何右R-模都是投射模(同时也是内射模)←→R是半单环

2)r.gl.dim(R)≤1←→任何右投射R-模的子模必为投射模(内射R-模的商模必为内射模)←→R是right hereditary.

2.com)gl.dim(R)≤1←→任何投射R-模的子模必为投射模(内射R-模的商模必为内射模)←→R是Dedekind domain.

3)fd.dim(R)=0←→任何右R-模都是平坦模←→R是von Neumann regular.

4)fd.dim(R)≤1←→任何平坦右(或左)R-模的子模必为平坦模 (对此似乎没有专门的名词)

4.com)交换情形下:fd.dim(R)≤1←→任何平坦R-模的子模必为平坦模←→R是Prufer domain.

5)若R是交换Noether局部环,则gl.dim(R)<∞←→R是正则局部环。

6)若R是交换Noether环,则gl.dim(R)<∞→R是正则环,←当R是半局部环时成立。

我曾经问过为什么Jacobson半单环上的模的特征是什么,它似乎一直没有被刻画过,大概这是因为它不像半单环与von Neumann regular那样具有同调维数的背景吧。


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