新加坡国立大学本科数学参考书

这里的书我大多数看过，绝对是经典中的经典。主要侧重是analysis， algebra。(如果你觉得我下面说的不是乱扯的话，请推荐这的书列，让更多的人一起完善它)。

我对数学的一点想法

数学于物理，艺术一样，都从不同方向描述了我们的世界。好像我们的世界有很多张面孔，数学就是其中之一。这张面孔被放进书里用于传播知识，然而书本（准确地说是文字）不足以完完全全地传达给读者数学这张面孔到底是什么样的。这种不完全来自于四个方面：
1. 我们并不知道所有的数学知识。好比只知道一个人鼻子的样子，我们难以推断出他到底长的什么样。
2. 就算是局限在我们已知的知识内，而且还是书中所讲述的领域。一本书也不可能容纳所有相关知识。
3. 书本，还有整个的教育，为了学习者的方便，一般采用线性的讲述方式,即先讲基础的，后讲复杂一点的这样的过程。但数学本身不是线性的。比如学习了高维微积分，认识到一维情况只是特例而已。知道了analysis on banach space上，又知道原来所学的局限。而且我们还经常发现我们所学的不同课程有所交汇，比如Fourier analysis 和 approximation theory， Fourier analysis 和 PDE.总的说来数学自身科目间的结构是错综复杂的。所以不断总结所学到的和已知知识的联系就很重要了。
4. 读书与研究是差别很大的。就像读一本游记所带来的感觉与真正旅游的感觉的差别。掌握数学就好像真正的旅行，自己投入其中去探索数学到底是什么，而不仅仅是让书的作者告诉你数学是什么。

那我们怎样了解数学呢。简单的说就是通过读书，思考不断地积累，找到合适的问题去做。

怎样找到好书呢。见http://www.lixiaolai.com/index.php/archives/8981.html。我简单的总结一下：
1. 看作者牛不牛。比如开山立派的那几十位就不说了。
2. amazon上的评价。google book 上的排名。
3. 好书的bibliogaphy
4. 多次再版的书
这样选出来的书比较靠谱，但不一定就最适合自己读。因为每个人都有自己的style。比如我就读喜欢清晰直观的书，绝不接受那种只有theorems+ proofs + short explanations的书。以我自己为例，我还需要一下几条标准：
5. 侧重对概念定理的直观解释，或以特例进行演示。
6. 结构清晰
7. 如果能从历史发展的角度讲问题就更理想了。可惜我只遇到过一个系列真正达到了这个要求的书：<a comprehensive introduction to differential geometry>。因为一旦涉及到从历史发展的角度讲一个东西，所用篇幅绝对会大大增加（好比上面那个系列，每册书都是大开本），结构也难以保持平衡。所以很多作者就弃而不用这种讲述方法。然而我们知道要深入了解一个东西就要知道它的发展过程。教科书缺乏历史的眼光的困难可以通过阅读数学史弥补（见我的第二个豆列“数学史和数学哲学”）。

拿到好书了怎样读呢。参见《如何阅读一本书》。当然数学书还是有它的特点的，那就是证明。《how to solve it》里面的方法同样适用于读一个证明。
Step 1. What does the theorem really say?
Step 2. Reading the proof.
Step 3. Looking back and taking notes.
（主要是3个Steps的细节很占空间，我在blog上的总结没办法贴出来。）
在读完一个part之后，要从更高的角度总结：什么是主要的概念定理？为什么说它们主要，它们到底怎么影响其他的概念定理？这个学科究竟是干什么用的？从历史上看，引起这些概念定理的问题是什么，它们是怎样发展完善的?横向来看，它们与我已知的其他知识有什么联系，那些联系是有价值的？

大多数书不需要用以上方法精读。但基础课程应该牢牢掌握，所以对每一门基础课都要如此精读一本书。像mathematical analysis，complex analysis，real analysis, linear algebra， algebra，ODE，PDE就算是基础课程了。只读一遍是难以完全做到以上要求的，但读完一遍至少要像上面一样总结，否则输入的知识技能没有一个框架支持，过一段时间就会淡忘。好像图书馆里新买的书没有贴上标签就跟其他书混在一起，以后会很难提取需要的知识。第二篇有时间则读，没时间以后总结相关科目的时候要回过头来看看现在的科目。像在总结多元微积分的时候就有机会提升对一元微积分的认识。

值得注意的是以上说的只是精读基础课的方法。研究时查资料就不可能像这样细细咀嚼。但如果没有扎实的基本功，解决数学问题的能力，查阅资料的速度都不会很高。