线性代数的几何意义

前言 1
第1章 什么是线性代数 11
1.1 “代数”的意义 11
1.2 “线性”的意义 14
1.2.1 线性函数的概念 14
1.2.2 线性函数概念的推广 16
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前言 1
第1章 什么是线性代数 11
1.1 “代数”的意义 11
1.2 “线性”的意义 14
1.2.1 线性函数的概念 14
1.2.2 线性函数概念的推广 16
1.2.3 多元线性函数的几何意义 17
1.2.4 n维(高维)空间的直观理解 19
1.3 线性映射和线性变换的几何意义 21
1.3.1 线性映射的几何意义 21
1.3.2 线性变换的几何意义 26
1.4 线性代数的故事 29
1.5 线性代数有什么用 32
第2章 向量的基本几何意义 36
2.1 向量概念的几何意义 36
2.1.1 自由向量的概念 36
2.1.2 向量的代数表示 37
2.2 向量加法的几何及物理意义 39
2.3 向量内积的几何和物理意义 42
2.3.1 向量内积的几何解释 42
2.3.2 向量内积的物理解释 44
2.4 向量叉积的几何和物理意义 45
2.4.1 叉积的定义及其几何解释 45
2.4.2 叉积的物理意义 46
2.5 向量混合运算的几何意义 49
2.5.1 向量加法的结合律的几何解释 49
2.5.2 向量数乘的分配律的几何解释 50
2.5.3 向量点积的分配律的几何解释 50
2.5.4 向量叉积的分配律的几何解释 51
2.5.5 向量混合积的几何解释 53
2.6 向量积和张量之间的关系 54
2.6.1 二维向量的内积、外积和张量 55
2.6.2 三维向量的内积、外积和张量 56
2.7 向量除法的几何意义 56
2.8 变向量的几何意义 57
2.8.1 二维变向量的几何图形 57
2.8.2 三维变向量的几何图形 59
2.8.3 变向量的应用 60
2.9 复向量的几何意义 61
2.9.1 向量与复数的关系 61
2.9.2 复向量的几何意义 62
2.10向量和微积分的关系 64
2.10.1 微分的几何意义 64
2.10.2 微元就是向量 64
2.11向量与解析几何的关系 65
第3章 行列式的几何意义 67
3.1 行列式的定义 67
3.2 二阶行列式的几何意义 70
3.2.1 二阶行列式的几何意义 70
3.2.2 二阶行列式性质的几何解释 71
3.3 三阶行列式的几何意义 75
3.3.1 三阶行列式的几何意义 75
3.3.2 三阶行列式性质的几何解释 75
3.4 行列式化为对角形的几何解释 79
3.5 行列式乘积项的几何意义 81
3.5.1 二阶行列式乘积项的几何意义 81
3.5.2 三阶行列式乘积项的几何意义 82
3.5.3 n阶行列式乘积项的几何意义 85
3.6 拉普拉斯展开定理及代数余子式的几何解释 86
3.7 克莱姆法则的几何意义 88
3.7.1 二阶克莱姆法则的几何解释 88
3.7.2 三阶克莱姆法则的几何解释 89
3.8 一类行列式的几何意义 90
3.8.1 最后一列为1的行列式 90
3.8.2 一列为1的行列式的应用 93
第4章 向量组及向量空间的几何意义 94
4.1 向量组的几何意义 94
4.1.1 向量线性表示/组合的几何意义 95
4.1.2 向量组线性相关的几何意义 97
4.1.3 向量组等价的几何解释 99
4.1.4 向量组的秩和极大无关组的几何意义 101
4.1.5 向量组例题的图解 102
4.2 向量空间的几何意义 103
4.2.1 向量张成的空间 105
4.2.2 子空间的几何意义 105
4.2.3 基、维数及其坐标的几何意义 108
4.2.4 基变换的几何意义 111
4.2.5 欧式空间及内积推广 114
4.2.6 标准正交基的几何解释 117
4.2.7 施密特正交化的几何解释 122
第5章 矩阵的几何意义 125
5.1 矩阵的概念及物理意义 125
5.1.1 矩阵是统计数表的例子 126
5.1.2 矩阵是线性函数系数的例子 127
5.2 矩阵加法的几何意义 128
5.3 矩阵与向量乘法的几何意义 129
5.3.1 矩阵与向量的乘积的概念 129
5.3.2 矩阵与向量乘积的几何意义 130
5.4 矩阵与矩阵乘法的几何意义 136
5.4.1 矩阵与矩阵乘法的意义 136
5.4.2 矩阵左乘与右乘的不同 138
5.4.3 矩阵乘幂的几何及物理解释 139
5.5 矩阵与线性变换关系的几何意义 140
5.5.1 线性变换如何用矩阵表示 140
5.5.2 线性变换矩阵定理的几何及物理意义 142
5.5.3 矩阵及其对应线性变换的几何图形 143
5.5.4 初等矩阵/初等变换的几何意义 146
5.6 矩阵乘法运算律的几何意义 153
5.6.1 两个矩阵相乘是两个线性变换的复合 153
5.6.2 矩阵的乘法不满足交换律 154
5.6.3 矩阵的乘法不满足消去律 154
5.7 矩阵秩的几何意义 155
5.7.1 矩阵秩的几何意义 155
5.7.2 矩阵的秩对图形变换的影响 156
5.8 矩阵特征值和特征向量的几何及物理意义 157
5.8.1 特征值和特征向量的几何意义 157
5.8.2 特征值和特征向量的物理意义 160
5.8.3 特征向量空间的几何图景 171
5.8.4 实对称矩阵的特征值和特征向量 174
5.8.5 复数特征值及特征向量的几何意义 176
5.9 矩阵相似的几何意义 178
5.9.1 什么是相似矩阵 178
5.9.2 矩阵相似的几何意义 180
5.9.3 矩阵相似对角化的几何解释 182
5.10矩阵行列式的几何意义 185
5.10.1 二阶矩阵行列式的几何意义 186
5.10.2 矩阵运算的行列式的几何意义 187
5.11雅可比矩阵及其行列式的几何意义 191
5.11.1 雅可比矩阵及其行列式的几何意义 191
5.11.2 雅可比矩阵在二重积分中的应用例子 192
5.12矩阵对平面和空间的旋转变换 195
5.12.1 平面上的旋转变换 195
5.12.2 空间的旋转变换 197
5.13矩阵的等价、相似与合同关系 199
5.13.1 矩阵等价、相似及合同的关系对比 199
5.13.2 等价矩阵几何意义 200
5.13.3 相似与等价矩阵几何意义的对比 202
5.13.4 合同与等价矩阵几何意义的对比 203
5.14其他各类矩阵的几何意义 204
5.14.1 逆矩阵的几何意义 204
5.14.2 转置矩阵的几何意义 206
5.14.3 伴随矩阵的几何意义 213
5.14.4 正交矩阵的几何意义 215
5.14.5 分块矩阵的代数及几何意义 218
5.14.6 三角矩阵几何意义 221
5.14.7 对角矩阵的几何意义 223
5.14.8 平移矩阵的几何意义 224
5.14.9 复数的矩阵表示 226
第6章 线性方程组的几何意义 229
6.1 两种线性方程组表示形式的几何意义 229
6.2 高斯消元法的几何解释 230
6.3 线性方程组的秩及解的关系的几何意义 233
6.3.1 二元线性方程组的秩及解的图形 233
6.3.2 三元线性方程组的秩及解的图形 236
6.4 线性方程组有解判别定理的几何解释 240
6.5 线性方程组解结构的几何意义 242
6.5.1 线性方程组解的代数形式 242
6.5.2 齐次线性方程组的解空间 245
6.5.3 非齐次线性方程组的解结构 246
6.5.4 非齐次线性方程组的例解 247
6.6 数域上的线性方程组（或向量空间）的意义 249
6.7 超定方程组的最小二乘解的几何解释 250
6.7.1 最小二乘法的向量解的几何意义 250
6.7.2 一般最小二乘解的公式推导 251
6.7.3 最小二乘解的例析 251
6.8 方程组和矩阵、向量组的关系 252
6.8.1 线性方程组与矩阵乘法的运算关系 253
6.8.2 线性方程组、矩阵、向量组的关系 254
6.8.3 秩的关系 254
第7章 二次型的几何意义 256
7.1 二次曲线及曲面的图形 257
7.1.1 二次函数的哪些系数对图形是重要的 257
7.1.2 二次函数与二次方程的关系 259
7.1.3 圆锥曲线的向量方程 261
7.2 二次型及其几何意义 262
7.2.1 二次型的定义 262
7.2.2 二次型的几何及物理意义 263
7.2.3 二次型函数与双线性函数的关系 265
7.3 二次型合同对角化的几何意义 267
7.3.1 二次型对角化之正交变换 268
7.3.2 其他二次型对角化的方法 270
7.4 惯性定理的几何及物理意义 272
7.5 二次型正定性的几何意义 273
7.5.1 二次型正定性的几何意义 274
7.5.2 二次型正定性判别法的直观理解 275
7.6 二次型的分类与二次曲面的分类 276
附录 线性代数简史和名师学习指点 280
主要参考文献 289
后记 290
· · · · · · (收起)