微积分学教程（第3卷）的笔记(15)

展开 收起
第139页 Green公式

Cynosure (我是一只橘)

Green公式里的那个负号打破了公式的“对称美”，为什么会这样？？如何更加直观地理解Green公式 The idea behind Green's theorem http://mathinsight.org/greens_theorem_idea The components of the curl http://mathinsight.org/curl_components The fundamental theorems of vector calculus http://mathinsight.org/fundamental_theorems_vector_calculus_summary

2015-09-17 21:37:12 2人喜欢

展开 收起
35页，[559]的补充

7086 (我的键盘是琴键，我的代码是诗行)

这里讨论了单值原函数的存在，在场论中有一个与它完全对应的问题，那就是向量场的数量势是否存在(具体可见本卷307页第670目)。在本目中作者做了如下说明为了在一般情形下要保证这一单値原函数的存在，必须给区域（D）一种特殊限制。这可以这样来表明：不论在（D）中取一怎样的简单闭路、用这一线路围起来的内域必须整个属于区域（D）。换句话说，区域必须不包含有“洞”，甚至须不包含有点洞。有这种性质的连通区域称作单连通...

2021-01-10 10:47:42 1人喜欢

展开 收起
307页第[670]目，有关定义域的一点备注

7086 (我的键盘是琴键，我的代码是诗行)

作者在这一目说，一个向量场拥有数量势当且仅当它的旋度处处为零；一个向量场拥有向量势当且仅当它的散度处处为零。但是另一篇论文又说？？？我该听谁的？？？于是我又跑到知乎上去查，发现了一篇文章（ https://zhuanlan.zhihu.com/p/37086467 ），和其中的这样一条说明我这才意识到考虑向量场定义域的拓扑性质的重要性，的确，菲老在本目一开头就说“仅限于考虑单连通的直角形状的空间区域中的场”。他们两个谁也没错，...

2021-01-09 20:55:04 1人喜欢

展开 收起
309第[670]目的2)——管形场

7086 (我的键盘是琴键，我的代码是诗行)

对你没听错，满足这个条件的向量场是现实生活中水管，天然气管等管道的数学抽象，并且很大程度上还保持着这些管道在现实生活中的一些直观特征。当这些基本的数学概念与这些十分浅显的生活现象，取得令人意外的一致时……数学这是抖了个包袱么？ (2回应)

2021-01-07 22:51:31 1人喜欢

展开 收起
[621]之叙述不清

7086 (我的键盘是琴键，我的代码是诗行)

他这里说在这些条件下为了显示所选的曲面一侧，必须选取法线方向余弦公式（2）中根式前的正号. 但从下文的证明中可以隐约看出，这个断语的成立还需要一个前提，那就是所说的曲面(S)与参数平面uv都是右手定向。但是只是在前一目的末尾约略说了句“我们今后在所指的各情况下采用右手坐标系”。感觉这又是一个行文不明确之处，把它提出来是因为它让我卡住了一下，而且本书中类似的其余的行文不明确更是令人恼火，即使这书据说有...

2022-09-24 10:44:15

展开 收起
[590]目之令人恼火之处

7086 (我的键盘是琴键，我的代码是诗行)

这里I,II的证明都依赖于积分区域P为闭区域的假设，但是在I,II的陈述中都压根未提及这一点，只是在证明中略为提到P是闭的。而且前文似乎也没说过“从现在起我们约定凡讨论到的积分区域都是闭区域”。这明显与“同时保持了叙述的全部严格性”所吹嘘的不一致。为了照顾初学者而回避集合论的语言在我看来真是因小失大，用容易理解的含糊代替了不易理解的准确。还好这种事在本书中不是那么常见。真奇怪，素来以凶狠著称的苏联高等...

2022-09-23 11:56:28

展开 收起
165页[610]目，有关二重积分换元法中雅克比行列式的备注。

7086 (我的键盘是琴键，我的代码是诗行)

用极坐标来计算二重积分时常可以让问题变得很简单，但是在了解到换元法的原理之后，有一个问题非常困扰我，那就是应该用这个行列式换元：还是这个：不要以为只是r与θ的位置互换了，根据雅克比行列式的定义，这可以使行列式的值相差一个符号。前面已经通过给雅克比行列式加上绝对值符号来避免这一问题，这对于到极坐标系的变换来讲没什么问题，因为很多时候我们只考虑极径r的正值，就像以下演示的：这只是一个侥幸，万一在... (2回应)

2021-01-27 11:17:50

展开 收起
242页，[639]目公式(20)的证明步骤

7086 (我的键盘是琴键，我的代码是诗行)

作者说关于这等式，只要引进曲线(Λ）的参数表示式，并通过它引进曲线（L）的参数表示式，便可以将这两个积分化为同一个对参数的寻常积分。于是证明了等式（20)成立。这段仅仅用语言描述出来的证明的步骤应该如下还好第一次看的时候把这些东西写在了书的页底，因为我这一次看的时候已经忘记我当时已想出来具体步骤了。

2021-01-26 13:52:53

展开 收起
139页[600]，格林公式的适用前提

7086 (我的键盘是琴键，我的代码是诗行)

在这一目作者说：亦即，可以证明：对于任何由一个或几个分段光滑的线路围成的区域(D)格林公式成立实际上却是只能在单连通区域中使用格林公式。然而在这里作者说一个或“几个”分段光滑的曲线围的区域，就很用词不当。那岂不是意味着我可以用两个同心圆围成一个圆环，然后在这个复连通的区域上应用格林公式，然后证明即使是在复连通区域中，以下条件对于曲线积分与路径无关仍然是充分的。反正你说了，可以用“几个”分段光滑...

2021-01-24 13:38:53

展开 收起
43页[562]，非得第2型曲线积分与道路无关时才能定出原函数吗？

7086 (我的键盘是琴键，我的代码是诗行)

在562目中，作者给出了一个极其漂亮的例子，用以解释哪怕在第2型曲线积分与道路相关时，仍有可能定出一个“原函数”，只不过这原函数可能不再是单值的了。作者给出的这个例子，简洁而巧妙，一下子就说明了这种非单值性的特点。在复数平面上也有类似的情形，并且与作者所讨论的例子极为相似。我的妈呀，太厉害了

2021-01-22 17:46:06