“千乘之国”背后的数学问题

左左平安
2018-06-25 看过

我们在读先秦典籍的时候,常常会看到“千乘之国”这个概念,无论是听老师讲课,还是看书下的注释,一般只能获得类似“拥有上千套战车的大诸侯国”这样的解释,碰到熟悉传统文化的老师,顶多再介绍一下“一套战车的组成为一车、四马、三人,千乘之国至少拥有一千两车,四千匹马和三千车兵”而已。

但其实在背后支持“千乘之国”强大军事力量的,是耕地面积、人力资源、税收制度等一系列因素。那么“千乘之国”背后到底有哪些玄机,咱们可以通过《论语注疏•学而篇》的第五章“子曰:‘道千乘之国,敬事而信,节用而爱人,使民以时。’”中的注疏来简单了解一下。

何宴引马融注曰:“《司马法》:‘六尺为步,步百为亩,亩百为夫,夫三为屋,屋三为井,井十为通,通十为成,成出革车一乘。’然则千乘之赋,其地千成,居地方三百一十六里有畸,唯公侯之封乃能容之,虽大国之赋亦不是过焉。”概言之,即千乘之国的面积为10万平方里,如果是正方形的话边长316里有余。

但又引包咸注曰:“千乘之国者,百里之国也。古者井田,方里为井。十井为乘,百里之国,适千乘也。”概言之,即千乘之国的面积为1万平方里,与马说相差十倍。

邢昺疏中对马融注千乘之国“地方三百一十六里有畸”进行了一个有趣的计算,用了中国传统数学中的“割补法”,原文是:“以方百里者一,为方十里者百。方三百里者,三三而九,则为方百里者九,合成方十里者九百,得九百乘也。计千乘犹少百乘方百里者一也。又以此方百里者一,六分破之,每分得广十六里,长百里,引而接之,则长六百里,广十六里也。半折之,各长三百里,将埤前三百里南西两边,是方三百一十六里也。然西南角犹缺方十六里者一也。方十六里者一,为方一里者二百五十六,然割方百里者为六分,馀方一里者四百,今以方一里者二百五十六埤西南角,犹馀方一里者一百四十四,又复破而埤三百一十六里两边,则每边不复得半里,故云三百一十六里有畸也。”

第一步,先设定一个边长300里的正方形,这样的话就有了9万平方里的土地;

方三百里者

第二步,再设定一个边长100里的正方形,这样的话就有了1万平方里的土地,与上面的9万平方里相加,正好是10万平方里。

方三百里者和方百里者

第三步,从边长100里的正方形中切出6个面积相等的矩形,长依然为100里,宽16里,则面积合计为9600平方里(蓝色部分),比目标1万平方里少400平方里(绿色部分)。

方百里者六分破之

第四步,把这6个矩形分成两组,头尾相接,放在边长300里的正方形的西边(左边)和下边(南边),则除了西南的边长16里的正方形外(红色部分),就成了一个边长为316里的正方形。

方三百十六者

第五步,边长16里的正方形面积为256平方里,和第三步中的400平方里(第三步中的绿色部分)还相差144平方里。

第六步,如果按照上述步骤,将144平方里再次分割,加入边长为316里的正方形中,则矩形的宽不足半里,所以说“三百一十六里有畸”。

解决了这个问题之后,又对“唯公侯之封,乃能容之”进行了一番解释:“《周礼。大司徒》云:‘诸公之地,封疆方五百里。诸侯之地,封疆方四百里。诸伯之地,封疆方三百里。诸子之地,封疆方二百里。诸男之地,封疆方百里。’此千乘之国居地方三百一十六里有畸,伯、子、男自方三百而下则莫能容之,故云‘唯公侯之封,乃能容之’。”概言之,即公国25万平方里,侯国16万平方里,伯国9万平方里,子国4万平方里,男国1万平方里,所以千乘之国只能是公侯之国。

接着又计算了千乘之国的总兵力:“《司马法》‘兵车一乘,甲士三人,步卒七十二人’,计千乘有七万五千人,则是六军矣。《周礼•大司马序官》:‘凡制军,万有二千五百人为军。王六军,大国三军,次国二军,小国一军。’”概言之,即千乘之国有3000车兵和72000步兵,合计为75000士兵;以12500人为一军来计算,即千乘之国拥有6军,是不合理法的。

接着又解释了“六军”的问题:“礼:天子六军,出自六乡。万二千五百家为乡,万二千五百人为军。《地官•小司徒》云:‘凡起徒役,无过家一人。’是家出一人,乡为一军,此则出军之常也。天子六军,既出六乡,则诸侯三军,出自三乡。”概言之,即12500家为1乡,每家出1名士兵,则1乡出1军,换言之就是1乡养1军。

那么先秦的征兵到底是按照人口户数来征呢,还是按照土地面积来征?邢昺在疏中接着解释:“千乘者,自谓计地出兵,非彼三军之车也。二者不同,故数不相合。所以必有二法者,圣王治国,安不忘危,故今所在皆有出军之制。若从王伯之命,则依国之大小,出三军、二军、一军也。若其前敌不服,用兵未已,则尽其境内皆使从军,故复有此计地出军之法。但乡之出军是正,故家出一人;计地所出则非常,故成出一车。以其非常,故优之也。”概言之,即正常状态下按照人口户数征兵,每户1人;遇到前方吃紧,兵源不足时,就按照土地面积征兵,即100平方里征兵75人。

接着又解释了包咸注的问题:“包氏依《王制》,云凡四海之内九州,州方千里,州建百里之国三十,七十里之国六十,五十里国百有二十,凡二百一十国也。”概言之,即世界分为九州,每州100万平方里,共210个国家,其中:30个1万平方里的国家,共30万平方里;60个4900平方里的国家,共29.4万平方里;120个2500平方里的国家,共30万平方里。这样算来,其实还差10.6万平方里,看来古人的数字大都是不太精确的。

邢昺虽然一再强调两种注释都各有根据,但从他所说的“以《周礼》者,周公致太平之书,为一代大典;《王制》者,汉文帝令博士所作”来看,他还是偏于马注的说法的。其实仔细玩味,这两种解释的关注点是不同的,马注是从土地面积和实际军事力量的关系上着眼的,而包注则是从土地面积和国家赋税的关系上着眼的,所以才有“千乘者,自谓计地出兵,非彼三军之车也。二者不同,故数不相合”的说法。但二人的共同点也是非常明显的,那就是用数字说话,用计算证明。而这一点,恐怕是现在的一些学人都无力做到的!

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