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Strongart数学笔记:谈谈p-adic幂级数

Strongart
2018-05-02 15:02:26

p-adic数理论是一个具有丰富结构的领域,在现代数论中具有基础地位,还可以为分析与代数提供很多有趣的实例,下面我们主要讨论一下p-adic幂级数。

先从有理数域Q开始,对任何有理数x∈Q,它可以表示为x = p^na/b,这里p不整除ab,此时定义x的p-adic赋值为v_p(x)= n. 接下来,我们定义x∈Q\{0}是p-adic范数为:|x|_p = p^(-v_p(x)),再规定:|0|_p = 0,这样就得到Q上的非阿(non-archimedean)绝对值。

这里的绝对值实际上就是到原点的距离,非阿绝对值除了满足抽象度量空间的三个性质之外,还满足下面的超度量性质:|x+y| ≤ max{|x|,|y|}.

根据Ostrowski定理,Q上非平凡绝对值等价于绝对值|·|_p,其中p ≤ ∞. 事实上,p<∞时,它就是上述非阿绝对值;而p = ∞时,它是一般实数上绝对值在Q上的限制。对任何x∈Q\{0},我们还有积公式:Π|x|_p = 1,其中p取遍素数集与∞.

下面看基本数系的扩张,从有理数Q开始,它对p-adic范数的完备化就得到p-adic域Q_p,若我们允许p=∞,那么就得到实数域R.然而,Q_p与R一样不是代数封闭的,可以取其代数闭包A_p,但与p=∞的情形不同,这里的A_p对p-adic赋值不是完备的,因此还要再做一次完备化,最后得到代数封闭且分析完备的C_p.

对下面要讨论的p-adic幂级数,主要取背景域Q_p,范数|·|为p-adic范数,但实际上推广到C_p也是成立的,差别就是C_p上元素的绝对值可能是p的分数幂,比如|√p| = p^(-1/2).

在讨论幂级数之前,要先考虑一下极限收敛的问题。有趣的是,由于p-adic绝对值有超度量的性质,p-adic极限的收敛,要比实数的情况更加简单,在实数情形下的一些想当然的错误,在p-adic的情形下反而是成立的。

在基本定义类似的情况下,我们有下面的等价命题:

(1)序列(a_n)是Cauchy列 iff lim |a_(n+1) - a_n| = 0

(2)序列(a_n)收敛于非零极限a iff 当n充分大时,|a_n| = |a|

进一步,p-adic级数有

(3)级数Σa_n收敛 iff lim a_n = 0

(4)若级数Σa_n收敛,则其重排后的级数也收敛,并且它们的极限相同

请读者自己说明,这四条性质在实数上都不成立!

接下来考虑幂级数的收敛问题,对幂级数f(X)= Σa_nX_n,类似于经典分析可定义其收敛半径为:r = 1 / lim sup (|a_n|)^(1/n),这样r满足0 ≤ r ≤ ∞.,有下面的几类结论:

(1)若r=0,则f(X)仅在x=0处收敛,比如f(X)= Σp^(-n^2)X^n

(2)若r=∞,则f(X)在任意点处收敛,此时称f(X)是整函数,比如f(X)= Σp^(n^2)X^n

(3)若0<r<∞且lim |a_n|r^n = 0,则f(X)仅在|x|≤r处收敛,比如f(X)= Σp^nX^(p^n)

(4)若0<r<∞且|a_n|r^n不收敛于0,则f(X)仅在|x|<r处收敛,这是比较普遍的情况

小结一下:f(X)在|x|<r时收敛,在|x|>r时不收敛,在|x|=r时同时收敛或不收敛,我们不妨就以x=r代入检验。

可以证明:收敛幂级数的和与积都是自然收敛的。

我们再看一些初等函数,它们可以类比经典分析中的幂级数展开来定义,但要注意对其收敛区域的讨论。

先是对数函数:

f(X)= log(1+X)= Σ(-1)^(n+1) X^n/n

其收敛半径r=1,收敛区域为:|x|<1.

可以证明:对a,b∈1+pZ_p,有

log(ab)= log(a)+log(b)

还有指数函数:

g(X)= exp(X)= Σ X^n/n!

其收敛半径r=p^(-1)/(p-1),收敛区域为:|x|<p^(-1)/(p-1).

这里的计算有点麻烦,需要用到阶乘的赋值公式:v_p(k!)= Σ[k/p^n],其中[ ]是Gauss取整函数。

具体来说,p≠2时,g(X)= exp(X)在x∈pZ_p时收敛;p=2时,g(X)= exp(X)在x∈4Z_2时收敛。我们不妨把这样的收敛区域记作D.

可以证明:若x,y∈D,则x+y∈D,且

exp(x+y)= exp(x)exp(y)

这样的指数函数与对数函数有互逆的结论:

(1)若|x|<p^(-1)/(p-1),则|exp(x)-1|<1,且log(exp(X))= X

(2)若|x|<1,则|log(1+x)|<p^(-1)/(p-1),且exp(log(1+X))= 1+X

最后看二项式函数,若α∈Z_p且|x|<1,定义二项式函数:

(1+x)^α= B(α,x)= Σ(α;n)x^n

收敛,这里(α;n)= α(α-1)…(α-n+1)/n!.

这样定义来自于实数上的二项式展开,但与实数的情况并不完全相同。比如在实数R上,对f(x)=(1+x)^1/2,有f(7/9)=4/3,但在Q_7上,|B(1/2,7/9)-1|<1!实际上,B(1/2,7/9)= -4/3.

最后简单介绍一下Newton多边形,对幂级数f(X)= Σa_nX_n,其Newton多边形指包含点(i,v_p(a_i))的下凸包,一般我们取a_0=1.显然,Newton多边形的各段斜率是依次非降的。比如对f(X)= 1+pX+p^4X^2+p^9X^3+…,其Newton多边形由y=x^2的右半支上的整点折线连接而成(请读者自己画图).

这样Newton多边形可以用来分析多项式,基本结论是:设f(X)= 1+a_1X+a_2X^2+…+a_nX^n是多项式,其Newton多边形的斜率依次为m_1 < … < m_r,其对应长分别为i_1,…,i_r,则对任何k = 1,…,r,f(X)在C_p内恰有i_k个绝对值为p^(m_k)的根(依重数计算).

与多项式的情况不同,幂级数的Newton多边形可能不包含原点之外的点(i,v_p(a_i)),i≠0,比如f(X)= 1+pX+pX^2+pX^3+…,其Newton多边形就是从原点出发的水平射线。

对于幂级数而言,主要考虑的对象就是各段斜率的极限,基本结论是:若m是幂级数f(X)的Newton多边形各段斜率极限的上确界,则幂级数f(X)的收敛半径是p^m. 这里m可以取∞,此时幂级数在任意点都收敛。

上面关于多项式的结论,也可以进一步推广为:设f(X)= 1+a_1X+a_2X^2+…是在半径p^m的闭球上收敛的幂级数,其Newton多边形的斜率依次为m_1 < …< m_r (≤ m),其对应长分别为i_1,…,i_r,则对任何 k = 1,…,r,f(X)在C_p内恰有i_k个绝对值为p^(m_k)的根(依重数计算),并且在半径为p^m的闭球内没有其他的根。

扩展阅读:

【1】Gouvêa F Q. P-adic numbers : an introduction[J]. 2003. (p-adic理论的入门书,以p-adic数为例逐渐引入现代数学语言,本文主要参考书)

【2】Koblitz N. p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions[M]. Springer Science & Business Media, 2012. (p-adic理论的进阶参考书,探索与数论函数有关的计算技术)

【3】Katok S. p-adic Analysis Compared with Real[M]. American Mathematical Soc., 2007. (p-adic理论的初级入门书,与实数对比更加容易理解)

【4】加藤和也, 川信重, 藤毅,等. 数论:Fermat的梦想和类域论[M]. 高等教育出版社, 2009.(有趣的数论参考书,可以看到对p-adic数的代数化处理)

博客原文看这里

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