读书笔记的记录

toyman_28
2018-05-01 16:05:57

《用数学的语言看世界》 大栗博司(日本) 古罗马,七艺为逻辑、语法、修辞、音乐、天文,还有算术和几何(数学领域)。数学可以精确地描述事物,新的语言。 1.1每一天的积累很重要,概率博弈 1.2 回归基本原理 抽象,数的交换律、分配律、结合律,自然数、0和负数、分数、无理数。 减法——>负数,除法——>分数,数学是自然的语言,以简单为美,抽象、逻辑。 分数,毕达哥拉斯发现,两个音符的频率之比构成的分数越简单,两者的和弦就越悦耳动听。 连分数,表示自然数的平方根具有一定的周期性。 1.3大数并不可怕。 费米问题,将问题分解成几个简单的部分,分别估算后再讲估算结果组合在一起即可。 数的计算,先将数字用10的乘方表示,那么乘法就转化为加法,除法则转化为减法,计算就变得相当简单,为此,人们发明了对数。 对数,logyⁿ=n*㏒y,(乘方计算化为乘法) ㏑自然对数,㏑(1+ε)≈ε,用来简化计算。 对数,推导出开普勒第三定律,㏒10(行星的公转周期)=3/2㏒(轨道的长半径),从而间接帮助牛顿发现万有引力定律。 1.4 不可思议的素数 高斯:“数学是科学的女王,而数论是数学的女王”。整数的最小单位是素数,数学家们认为素数是解

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《用数学的语言看世界》 大栗博司(日本) 古罗马,七艺为逻辑、语法、修辞、音乐、天文,还有算术和几何(数学领域)。数学可以精确地描述事物,新的语言。 1.1每一天的积累很重要,概率博弈 1.2 回归基本原理 抽象,数的交换律、分配律、结合律,自然数、0和负数、分数、无理数。 减法——>负数,除法——>分数,数学是自然的语言,以简单为美,抽象、逻辑。 分数,毕达哥拉斯发现,两个音符的频率之比构成的分数越简单,两者的和弦就越悦耳动听。 连分数,表示自然数的平方根具有一定的周期性。 1.3大数并不可怕。 费米问题,将问题分解成几个简单的部分,分别估算后再讲估算结果组合在一起即可。 数的计算,先将数字用10的乘方表示,那么乘法就转化为加法,除法则转化为减法,计算就变得相当简单,为此,人们发明了对数。 对数,logyⁿ=n*㏒y,(乘方计算化为乘法) ㏑自然对数,㏑(1+ε)≈ε,用来简化计算。 对数,推导出开普勒第三定律,㏒10(行星的公转周期)=3/2㏒(轨道的长半径),从而间接帮助牛顿发现万有引力定律。 1.4 不可思议的素数 高斯:“数学是科学的女王,而数论是数学的女王”。整数的最小单位是素数,数学家们认为素数是解开数学秘密的钥匙。 RSA密码,密码学 1.5 无限世界和不完备性定理 反证法,自我指涉引发的悖论 哥德尔不完备性定理,第一不完备性定理:任意一个包含自然数及其算术运算在内的公理中,当这个公理无矛盾时,对于自然数都存在一个命题,它在这个公理中即不能被证明也不能被否定。 第一不完备性定理并不是主张无法证明自然数的定理,它只不过强调无法证明所有定理。 不完备性定理告诉我们一个事实,我们是有限的存在。 1.6 测量宇宙的形状 几何,测量土地,埃拉托斯特尼测量地球周长,平行线,夹角。 欧几里德的几何学,平面几何的5条公理: 1)任意两个点可以通过一条直线连接; 2)任意线段能无限延伸成一条直线。 3)给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆。 4)所有直角都是相等(欧几里得定义的直角:为当两条直线相交的邻角彼此相等,这些角叫作直角)。 5)若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和(a+b)小于两个直角之和180,则这两条直线在这一边必定相交。 三角形内角和为180度的定理 勾股定理的证明,直角三角形画以a,b,c边画正方形,(a+b)²=a²+b²+2ab= c²+2ab<==> a²+b²=c² 一般化的勾股定理证明,本质,线到面积,X=>X²。 A:B:C=a²:b²:c²,a²+b²=c²相当于A+B=C 1.6.2 笛卡尔坐标与划时代的创想 使用笛卡尔坐标,可以把平面几何问题转换成关于(x,y)的计算问题,解方程问题。笛卡尔坐标结束了田园牧歌式的时代,把几何研究引向了重视效率的近代。使用笛卡尔坐标就能使n维空间的几何学一般化。 不符合欧几里得公理的几何图形,球面几何,双曲几何。高斯统一了各平面图形的方法,证明了曲面上的几何是由曲率所决定的。“神奇定理” 根据爱因斯坦的一般相对论,空间的曲率决定于宇宙物质和能量的密度。 1.7 微分源于积分 阿基米德的夹逼定理,先有积分。 牛顿和莱布尼茨的“微积分学基本定理”指的就是微分和积分是逆运算。 1.8 虚数(假想存在的数)imaginary number 平方为负的根,从二次方程开始,虚根。 将复数当做一个实数对,将这个数对看做一个数,并且能够进行加法运算、减法运算、乘法运算和除法运算。还有三元数,四元数。 复数的乘法运算在高斯平面是“旋转和伸长”。极坐标,使用长度和角度对(r,θ)。(cosθ+sinθ)ⁿ=cosnθ+isinnθ,简化n次方的运算。 欧拉公式 cosθ+isinθ=e(iθ)次方。 ln(1)≠ln(-1),根据欧拉公式,ln(-1)=πi。 1.9测量的难与美 图的对称性,伽(ga)罗瓦的“群”概念,以及其在阿贝尔“五次方程没有一般解”和伽罗瓦理论中的应用。 伽罗瓦在深入思考“什么是方程的难度”时产生了“群”的概念,而且这个概念对科学技术的发展发挥了巨大的贡献。庞加莱的猜想和佩雷尔曼的证明。群的语言是理解基本粒子及其力量必不可少的工具。 数学的研究对象有限,不过其有限的研究对象包含着一个宏大精彩的世界。伽罗瓦两手揣在怀中,自言自语地说道“存在难得方程”,不存在‘方程’的难度”。并未停止脚步,而是试图用数学的语言表达这个“难度”,从而发明了“群”的语言,“群”还成为了打开数学新世界的大门的钥匙。

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