读数学之美

神蒜子
2018-04-02 22:45:10

吴军的这本书,与其称之为《数学之美》,加上一个限定词似乎更为准确:信息论中的。作为一本面向非专业读者的科普书籍,本书将两部分知识分离的比较明晰。其一是几乎没有任何公式和计算的纯说明部分,不是太落伍的识字的人,大抵都能明白这部分讲的是什么。其二是有公式部分,这部分我自己在比较简单或比较熟悉的数学领域还能大致看懂,如三角函数部分,概率论部分,但到了矩阵部分就完全不知所读,这确实是大学期间没好好学。读这本书最大之所得,在于拓宽了视野,以前似懂非懂的很多信息学概念,理解的更加深刻。

首先,是关于“信息”这个概念的本身。何谓信息,或者说一条信息的信息量由何决定?作为一个日常生活中经常接触到的词语,大多数人多多少少都有一些感知,但很少有人能将之精炼抽象出来。本书中写道:一条信息的信息量与其不确定性有着直接的关系。以我的理解举个例子,譬如说:北国超市的柚子一块钱一斤。对于经常买柚子的人来说,这条信息包含的不确定性就很少,因为它们知道这个时节的柚子一般是多少钱,它们能从中得到的是北国超市的柚子比一般的市场价要贵多少或者便宜多少;对于一个不经常卖水果的当地人而言,他减少了两个不确定性,1

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吴军的这本书,与其称之为《数学之美》,加上一个限定词似乎更为准确:信息论中的。作为一本面向非专业读者的科普书籍,本书将两部分知识分离的比较明晰。其一是几乎没有任何公式和计算的纯说明部分,不是太落伍的识字的人,大抵都能明白这部分讲的是什么。其二是有公式部分,这部分我自己在比较简单或比较熟悉的数学领域还能大致看懂,如三角函数部分,概率论部分,但到了矩阵部分就完全不知所读,这确实是大学期间没好好学。读这本书最大之所得,在于拓宽了视野,以前似懂非懂的很多信息学概念,理解的更加深刻。

首先,是关于“信息”这个概念的本身。何谓信息,或者说一条信息的信息量由何决定?作为一个日常生活中经常接触到的词语,大多数人多多少少都有一些感知,但很少有人能将之精炼抽象出来。本书中写道:一条信息的信息量与其不确定性有着直接的关系。以我的理解举个例子,譬如说:北国超市的柚子一块钱一斤。对于经常买柚子的人来说,这条信息包含的不确定性就很少,因为它们知道这个时节的柚子一般是多少钱,它们能从中得到的是北国超市的柚子比一般的市场价要贵多少或者便宜多少;对于一个不经常卖水果的当地人而言,他减少了两个不确定性,1,北国超市有柚子卖,2,柚子是一块钱一斤,这样,这条信息对于他来说,减少的不确定性更多;对于一个游客而言,除了这两条之外,还减少了一个不确定性,附近是有北国超市的。所以对于不同的个体而言,相同的表述可能减少了不同的不确定性,因而代表着不同的信息量。这是日常生活,对于由代码组成的系统,就并非如此了。对于相同的内容,不同系统对其信息量的获取,要么因为完全不能理解而为0,要么是理解获取到相同的信息量。这种理解能力,是由敲代码的人约定俗成的,广义来说,可称之为协议(protocal)。

我们在设计数据库等与信息相关表格时,会通过计算或估算如何将不确定性减少为0而评估出所需最少字段数和表格数的下限。事实上,在设计的时候,总会设计出超过这个下限的存储设计方案(scheme),其多出来的部分不是与下限范围内容完全无关的东西,而一般就是下限范围内容的一个备份,或者多个子部分的一个函数值(但是以数据的方式来存储)。这部分内容,就叫做冗余。书中曾经写道,信息的冗余是信息安全性的保障。举个日常的例子,我们平时说话,不管是哪种语言,总会有相同相似音节甚至相同书写方式但意思截然不同的词语,譬如说“这有意义吗?”和“这有异议吗?”,两句话的发音完全相同,但意思完全不同,如果不知道说话时的上下文(context),就完全不知道说的是什么意思。对于参与这场对话的人,以他们的角度来看,这句话的信息量已经足够了。但对于刚参与到对话中的新人,就需要参考下接下来的对话才能明白这句话是什么意思。即使接下来的对话可能并没有带来任何新的信息量,但作为上句话的冗余,有助于保证新人的理解,即所谓的信息安全性。对于系统而言,冗余的存在,往往还有着提升效率的作用,这点就不展开说了。

除此之外,就是对于真理获得的理解。文中有一句话,我在很多地方都看到过,也从很多伟人的最终听到过,但始终是持怀疑态度的:一个正确的数学模型应当在形式上是简单的(真理是简单的,或者大道至简,等等)。何谓真理?真理在我看来,是人类认识世界的工具。世界本没有真理,人们根据所见所感,总结出来了规律(所谓因果,亦复如是)。世界的非无序性是人类生存的前提,同时也是真理存在的前提。故而在一圈又一圈,一圈破除一圈的真理组下,人类世界看起来井然有序。世界上有加法时并没有乘法,在只会加法的人看来,没有乘号的乘法就是复杂的,直到有了乘号。世界的真理也大抵如此(或者说作为重要性质之一),对于托勒密而言,圆就是他的加号,椭圆就是他没想到的乘号,故而有四十个圆而没有一个椭圆,这与彼时的人类世界数据不足也有关系。我们也应该始终说,各方面数据量的增长是人类科技发展的决定性原因。而世界的真理,从世界的角度来看,似乎没有必要就是简单的。

书中还有很多有意思又能给像我们这种非专业人士以启迪的内容,如最大熵。文中所述,不及冰山一角,篇幅所限,便到此为止吧。

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