适合应用数学的概率论引论

淩空駕馭
2018-03-25 03:14:57
这是本学期高等概率论参考教材,授课老师是于封底力荐此书的GTM113第一作者Ioannis Karatzas。

这本书名为概率论引论,但我认为它包含了国内一般意义的实分析基础、高等概率论以及随机过程基础的内容。在内容编排上,没有从天而降的定义罗列,而是偏向于逐步递进。个人感觉难度上,这本书适合看过实变函数和泛函分析基础的同学阅读,并不像Durrett的概率论一样开头就假定读者基础非常好。

简要列举一下书中概率论的主要内容:σ-域、Borel集、随机变量、Levi渐升列、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理、常见概率分布、常见不等式、条件测度、乘积测度、Fubini定理、Borel-Cantelli引理、大数律、0-1律、Fourier变换及卷积、中心极限定理、不同意义的收敛及其联系。在这里我复习实变函数中各种定理的同时了解它们在概率论中的表现形式,也在回顾线性泛函分析上对偶空间的同时了解中心极限定理的严格证明。

接着是随机过程。这本书在严格的概率论的基础上介绍了Poisson过程、Markov过程、随机游走、离散鞅和Brown运动。这部分是前半部分内容的应用与拓展。各种性质比如Poisson过程与指数分布的密切联系、随机游走中的零常返性在这里有严格的数学证明,使我





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这是本学期高等概率论参考教材,授课老师是于封底力荐此书的GTM113第一作者Ioannis Karatzas。

这本书名为概率论引论,但我认为它包含了国内一般意义的实分析基础、高等概率论以及随机过程基础的内容。在内容编排上,没有从天而降的定义罗列,而是偏向于逐步递进。个人感觉难度上,这本书适合看过实变函数和泛函分析基础的同学阅读,并不像Durrett的概率论一样开头就假定读者基础非常好。

简要列举一下书中概率论的主要内容:σ-域、Borel集、随机变量、Levi渐升列、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理、常见概率分布、常见不等式、条件测度、乘积测度、Fubini定理、Borel-Cantelli引理、大数律、0-1律、Fourier变换及卷积、中心极限定理、不同意义的收敛及其联系。在这里我复习实变函数中各种定理的同时了解它们在概率论中的表现形式,也在回顾线性泛函分析上对偶空间的同时了解中心极限定理的严格证明。

接着是随机过程。这本书在严格的概率论的基础上介绍了Poisson过程、Markov过程、随机游走、离散鞅和Brown运动。这部分是前半部分内容的应用与拓展。各种性质比如Poisson过程与指数分布的密切联系、随机游走中的零常返性在这里有严格的数学证明,使我体会到数学之美。

习题方面,既有应用、也有与分析专业课内容的联系,亦有数学结果的简单推广或对更高层次内容的引导,个人认为挺适合练手的。当然习题量是很大的,我觉得没有必要全做。

总之,我觉得这本书极其适合大四或研一的应用数学系学生回顾分析专业课的知识以及学习高等概率论之用。在了解本书的基础上,可转向高等数理统计,可转向金融数学,亦可转向机器学习。

唯一不足是tex代码没有体现数学符号的多样性。书中太多符号使用同样的罗马体,而Karatzas的讲义十分优美。我自己写作业时尽量模仿Karatzas的符号体系而避免书中的符号体系。
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