数学 数学 9.0分

《mathematics》VSI 笔记

空素问
数学内涵的展现离不开众多的术语、记号和公式;数学内涵的展现离不开必要的逻辑推理。
数学是一个抽象的领域,包含两层含义:一来它从问题中抽象出重要特征, 二来它所处理的对象不是具体的、有形的。

模型:可以看作是所要研究的那部分现实世界的一种虚构、简化的版本。

抽象:

我们应当学习抽象地思考,因为通过抽象地思考,许多哲学上的困难就能轻易地消除。
(几乎每一章都强调了抽象的重要性。)
真正重要的问题并不是黑色国王的存在性或者它的本质属性,而是它在游戏中所发挥的作用。
扩充数系 自然数->0->负数和分数->实数和复数
从用来描述数系每次扩充所得到的新数的名字,我们能够发现在历史上对抽象方法质疑的一些痕迹,比如“负的”和“无理的”。但更让人难以下咽的还在后面,这就是“虚幻的”,或者“复杂的”数。
在实践中,关于数和其他数学对象,重要的只是它们所遵循的规则。
数学的对象是其所做。
数学概念的实在性更多地与它做什么而不是与它是什么相关。
抽象方法还有一点极大的优越性:它使我们能将熟悉的概念扩展到不熟悉的情况下,赋予新的意义。我们所做的正是去赋予意义,而不是去发...
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数学内涵的展现离不开众多的术语、记号和公式;数学内涵的展现离不开必要的逻辑推理。
数学是一个抽象的领域,包含两层含义:一来它从问题中抽象出重要特征, 二来它所处理的对象不是具体的、有形的。

模型:可以看作是所要研究的那部分现实世界的一种虚构、简化的版本。

抽象:

我们应当学习抽象地思考,因为通过抽象地思考,许多哲学上的困难就能轻易地消除。
(几乎每一章都强调了抽象的重要性。)
真正重要的问题并不是黑色国王的存在性或者它的本质属性,而是它在游戏中所发挥的作用。
扩充数系 自然数->0->负数和分数->实数和复数
从用来描述数系每次扩充所得到的新数的名字,我们能够发现在历史上对抽象方法质疑的一些痕迹,比如“负的”和“无理的”。但更让人难以下咽的还在后面,这就是“虚幻的”,或者“复杂的”数。
在实践中,关于数和其他数学对象,重要的只是它们所遵循的规则。
数学的对象是其所做。
数学概念的实在性更多地与它做什么而不是与它是什么相关。
抽象方法还有一点极大的优越性:它使我们能将熟悉的概念扩展到不熟悉的情况下,赋予新的意义。我们所做的正是去赋予意义,而不是去发现某种早就存在的意义。

公理系统的主要问题并不是公理的真实性,而是公理的自洽性和有用性。
显然
定义 实际上,我们所做的是定义距离的概念
扩展数学概念 不去做艰深的思维体操以试图理解弯曲空间的本性,让我们仅仅遵循扩展数学概念的寻常程序。
近似

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1.成功的数学研究者需要具备的:
非凡的勇气、坚定和耐心,对他人完成的艰难工作的广泛了解,在正确的时间专攻正确领域的运气,以及杰出的战略性眼光。
接触到战略性眼光:选取一些可能会结出丰硕成果的问题,知道什么时候应该放弃一条思路(相当困难的判断),能够先勾勒出论证问题的大框架继而再时不时地向里填充细节。这就需要对数学有相当成熟的把握。

2.数学总是持续在自身的基础上构建,所以学习时的步步跟进就显得很重要。做好准备进行必要的概念飞跃。

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这本书看完感受最深的几点:
1.抽象
2.扩充数系、扩展数学概念、定义、赋予意义
3.公理的自洽性
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