憋了8个月的书评,我试着一万个字内讲清楚《GEB》

Shoreline

包括讲清楚哥德尔定理的证明。。。。。。。。 即便考虑了侯世达定律,8个月时间依然比预期的要长很多。。。。 PS:侯世达定律:做事所花费的时间总是比你预期的要长,即使你的预期中考虑了侯世达定律。。。。

《GEB》内容结构导图

如果要用尽可能少的字数概括九百多页的《GEB》,那应该是

从哥德尔不完全性定理▕ 引申到对人脑结构和心智本质的探讨再深入到计算机程序和人工智能 介绍了一个同时存在于数理逻辑,分子生物学缠结层次系统▕ 这些内容在巴赫和埃舍尔的作品里有类似的对应物

以下按照概括分四个部分依次解读


一 哥德尔不完...




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包括讲清楚哥德尔定理的证明。。。。。。。。 即便考虑了侯世达定律,8个月时间依然比预期的要长很多。。。。 PS:侯世达定律:做事所花费的时间总是比你预期的要长,即使你的预期中考虑了侯世达定律。。。。

《GEB》内容结构导图

如果要用尽可能少的字数概括九百多页的《GEB》,那应该是

从哥德尔不完全性定理▕ 引申到对人脑结构和心智本质的探讨再深入到计算机程序和人工智能 介绍了一个同时存在于数理逻辑,分子生物学缠结层次系统▕ 这些内容在巴赫和埃舍尔的作品里有类似的对应物

以下按照概括分四个部分依次解读


一 哥德尔不完全性定理

作者侯世达表示他开始只想写一篇关于哥德尔(不完全性)定理的论文,但随着对这个问题思考的深入,许多的联想被触发,大脑,思维,音乐,层级,人工智能这些概念进入到他的脑海,最终催生出这本精妙绝伦的著作

要想感受书中精髓,我们也要从哥德尔定理这个中心点出发,才能了解作者思想的来弄去脉。首先要理解这个定理的推导过程,这是本书唯一需要用到理科生思维的地方,其它内容都可以用通俗的话讲清楚

哥德尔不完全性定理:数论的所有一致的公理化形式系统都包含不可判定的命题

想看懂这句话得先了解以下几个概念,下面的解释都狭义到刚好足够弄懂这个定理的程度

♤ 数论:描述自然数(0,1,2...)性质的陈述。。如(3是素数,1792是两个自然数的平方) ♤形式系统:由确定的推理规则和特定的符号组成的系统,用来反映自然数的性质(这本书提到的都是数论的形式系统,如等下证明会用到的TNT系统就是由+,=,~,∀等符号(想想高中学过的全称量词与存在量词)还有表示所有自然数的符号组成的) 定理:形式系统中根据规则推导出来的公式。每一条定理都说了一句关于数论陈述的真话(表述了正确的自然数性质 ,也叫真理,如“1792是两个自然数的平方”就是一条TNT系统的定理,因为这句话是正确的,但是在TNT系统中 这句话是用TNT系统的符号写出来的) 形式系统的完全性:形式系统中的每一条定理表述了一条真的数论陈述,那如果全世界所有真的数论陈述都可以被一个系统中的定理表述出来,这个系统就是完全的 形式系统的不完全性:不完全性就是说,有真理不能被定理表述出来

那么哥德尔不完全性定理:“数论的所有一致的公理化形式系统都包含不可判定的命题“就可理解为:所有数论的形式系统中都至少有一句话,你没办法判定它是不是定理(不能说它不是定理,也不能它说是)

其实这个句话就是在说:“我不是一条定理”(我们把它取名为"G"),你没有办法判定是因为

1.如果G是定理 则说明它说了一句真话 → 矛盾

2,如果G不是定理 那他就的确说了一句真话 → 那他就是不能被系统定理表示的真话——系统不 完全性的原因

找出这句话的意思是用形式系统的符号(这里用的是TNT系统)把G写出来

哥德尔不完全性定理的证明

我们可以用数学符号表述5是素数这样的数论陈述,但怎么表述 我不是一条定理 这种意思?这好像是文字才能办得到的事,要怎么用数学的陈述来谈论数学陈述自己呢? 这就是哥德尔伟大的地方,他发现了用数学公式谈论数学公式自己的方法!我们看下他如何用数学符号表述 ”我不是一条定理“

1,表述“不是一条定理”: 表示“是定理”要用到证明对的概念如果n是一条定理 ,那么就有一个陈述(公式)可以和n形成一对证明对 用形式系统的符号表示就可以写成公式: 存在一个a 让{a,n}形成证明对 所以某陈述不是一条定理就可以写成: 不存在一个a 让{a, 某陈述}形成证明对 ( 注意!: 1.此处为方便理解,把形式系统的数论陈述用中文表示出来,所有用TNT系统的符号表述的语言都会用前后加上加上符号 “,原本的陈述是 ~∃a .... } 这样的符号组成的公式 2.证明对这个概念本身具有一种原始递归的数学性质可以保证说出来的都是真话,比如像存在一个a 让{a,1+1=3}形成证明对这样的公式是不合法的,你可以理解为这样的假公式写不出来!)

2,表述“我” :要用到㧟摁的概念,㧟摁 就是把自己带入它自己的意思 公式:㧟摁{x,n} 意思是:含有自变量的公式x把自己带入自己的自变量后就是n (注意!: x把自己带入自己不会造成x里面有x里面有x ...这样的无限循环,因为公式X并不是直接带入自身,而是用自己的哥德尔编码的数字形态带入自己的,这个知识点会在后面解释

接下来我们先写出一个陈述(公式): 不存在一个a 让{a, n}形成证明对 并 㧟摁{x,n} 意思是 :当n是公式x带入它自己的自变量时,n就不是定理 作者把这个公式取了一个奇怪的名字叫做"G的服号串" 简称 “G服” 最后一步:把G服带入X!我们就得到了传说中的"G"不存在一个a 让{a, n}形成证明对 并 㧟摁{G服,n} 他的意思就是: 当n是公式G服带入它自己的自变量时,n就不是定理,而此时n就是G服带入他自己的自变量!所以此时n就不是定理! 所以这条陈述G:不存在一个a 让{a, n}形成证明对 并 㧟摁{G服 ,n} 就是我们要找的说”我不是定理“的那句话 ,哥德尔不完全性定理证明完毕,G的存在就是形式系统不完全的原因!

G拆开看更明白: 不存在一个a 让{a, n}形成证明对说的是 :n 不是一条定理 㧟摁{G服,n} 说的是 :n 就是这个句子自己,是对n的解释,即我)

③哥德尔定理要告诉我们什么呢?

歌德尔定理最直接意义是在说:

1.可证的一定是真的,但真的不一定可证: 这是哥德尔定理最直接的一层意思,因为系统中有一句真话不可证,所以可证性弱于真理性,可证和真是两回事 。从古希腊开始人们就普遍相信数学能和真理划上等号,希望从数学中可以证明一切命题的真假,但哥德尔定理粉碎了两千年来数学家们的信念,他说数学甚至都不能证明数学本身的性质。

进一步可以说明: 2,任何系统在本质上都是有缺陷的: 整个证明的关键在于歌德尔构建了一个自指的陈述,自指(谈论自身)是整本书最重要的概念,因为它是许多悖论的根源 著名的说谎者悖论:“我说的这句话是假的”。就是因为这句话指涉了自身而引起了悖论 墨子驳“言尽悖”: 墨子指出:“真理是无法用语言表达清楚的”这句话也有同样的悖论,也是因为它隐含地指涉了自己(这句话自己不就在用语言表达真理吗) 公式G:”我不是一条定理“ 也是因为其自指性而出现了悖论 自指的存在让所有系统都具有不可避免缺陷,任何系统只要有谈论自身的能力,内部就存在不可消除的矛盾,不完全性成了所有系统的固有性质。这就告诉我们,不能指望有系统可以解决所有的问题,鉴别所有句子的真假,因为他们都是不完全的漏洞系统。因此在物理学,社会学,哲学或者任何领域,所有构建大一统理论体系的努力是注定要失败的 须知:人类认知世界过程就是人类在各学科构造形式系统并在其中推演定理解释世界的过程!

联系到这本书的主题——思维和大脑,作者告诉我们: 3.人的认知是有局限的,矛盾其实是我们思维的固有性质 人脑与思维,也是一个形式系统。因此我们注定无法认识所有客观真理,哥德尔定理的悖论就就是我们认知的界限,我们头脑里无法同时容纳一句话既是真的有是假的这两件事,侯世达猜想这是因为我们面对矛盾时是让大脑做一件物理层面上相互冲突的事情,好比你不能让神经元电流既向左走又向右走。矛盾性是根植与我们大脑的物理结构的属性

4.跳出系统,超越自己也许是注定做不到的事情 在苹果表面爬行的蚂蚁以为苹果表面是没有尽头平面,因为他无法跳出来观察到自己只是在绕圈子。蚂蚁无法超越自己的认知维度,人类也一样,哥德尔定理就是我们无法超越的界限。1931年哥德尔定理发表,直接打击了那些妄图用数学系统内部的方法去证明数学系统是完备的人,这种想法好比拽着自己的头发把自己举起来。任何系统只要强到能谈论自身就逃不过哥德尔定理的打击,就算你把那个打击的漏洞吸收进原来的系统内变成看似更完备的系统,但补漏后的新系统又会有新的漏洞被哥德尔定理抓住。这说明所谓的超越自我可能只是从一个系统跳到另一个系统时产生的错觉,因为跳出系统自身只能是一场徒劳 , TNT系统只可谈论自身,但不可超越自身,人最多只能理解自我,却不能超越自我

图by埃舍尔

但是哥德尔定理和大脑心智还有更密切的关系,我们可以进入第二部分:


二.对人脑结构和心智本质的探讨到计算机程序和人工智能

自指怪圈

我们再来看哥德尔定理的证明,整个过程的关键有两点:

第一是构建一个类似说谎者悖论的句子,”我的这句话是假的”这句话的悖论性是来源于自指自指导致我们陷入怪圈

怪圈也叫缠结的层次结构,是指你一直往一个方向向上或者向下走,但最后却回到原点,就像埃舍尔的无穷楼梯。而这样的怪圈缠结的层次结构其实就是智能的核心所在

我们大脑就是一个多层次的系统,一个层次中有某些关于思维的规则,在这个规则层次下有修改规则的元规则层次,在元规则层次下有修改元规则的元元规则层次..... 一句真话是一个层次,谈论这句是否是真话是另一个层次,自指之所以导致悖论就是因为“指”就是在谈论!

思维是涉及多个层次的复杂活动,不同层次缠结在一起,这就是大脑的样子

同一事物在不同层次的描述

证明的第二个关键是“”的表示。自然语言可以用“我”字代指句子,但是数学里只能找其它方式来表示“我”。前面的证明过程还没交代如何表示㧟摁{G服 ,n}中的G服,现在来详细的讲下:

G服就是公式不存在一个a 让{a, n}形成证明对 并 㧟摁{x,n} 现在要用G服自己带入自己的x,可这要怎么带呢?如果直接带进去就成了:

不存在... 㧟摁{不存在... 㧟摁{不存在...㧟摁{...,n} ,n} ,n}...} 这会是个无限循环的怪圈,没办法写出来

哥德尔的办法是用G服的哥德尔编码的TNT数字形式带入,估计你看到这个名词就不太愿意弄懂它究竟是啥,但我还是简单说下,不想看也可以直接跳过括号:

(第一步: G服 → G服的哥德尔编码 : 哥德尔编码就是把公式符号用特定的数字指代,比如 存在 是110 ,a 是 666, x 是 303... ,所有的TNT符号都有自己的编码数字,那最后G服就能被写成 110 xxx xxx....xxx 这样一连串的数字代码 第二步:G服的哥德尔编码 → G服的哥德尔编码的TNT数字形式 :因为G服全是TNT符号,只能用TNT符号带入,现在把所那一串xxx都变成TNT符号,把数字翻译成TNT的符号,现在110的含义就不是存在了,而就是数字110,用TNT的符号表示110(TNT系统用S+0表示自然数是,1是S0,2是SS0,110就是0前面110个S)翻译完后G服就被写成 SSS...0 SS...0 . . . . . SS...0 ,这才是要带入G服本身的东西 所以㧟摁{x,n}的意思实际上是:含有自变量的公式x把自己哥德尔编码的TNT数字形式带入自己的自变量后就是n。这样的变形可以近似理解为把 滚 →gun → 哥屋恩。还是中文形式,但换一种方式表示。 至于㧟摁{x,n}为什么能表示这么复杂的关系,到底怎么被发明的,你只有亲自翻书书的P589~P592寻找答案了)

一句话,这里的G服变形了,它先后变换形式两次后再带入它自己。这是形式系统可以谈论自己的原因,说白了就是把同一个东西用不同的形式表达,也可以说在不同层次上描述,同一事物在不同层次有不同描述就是我们的大脑的一种属性!在这个意义上说,哥德尔不完全性定理是我们认识自己心智的一面镜子

③ 大脑和思维究竟是什么?

1.大脑的结构 大脑是一个非常复杂的多层次形式系统! 这个系统的最底层是神经元网络,也称大脑的硬件基质这一层通过无数化学信号的传递汇聚成高层次的活动,高层的活动又汇聚成更高层的活动,一层层最终上升到顶层就是会思考的智能层次。这种由低到高的汇聚不是按照先后顺序发生的,每个层次的活动其实是同一件事,只是在不同层次看起来(描述起来)不一样,神经网络的活动就是智能层的思考 可以把大脑类比计算机,后者也是从底层硬件到高层软件的层次结构。最低层是硬件的电路活动,往上是一层层组快化程度逐渐提高的计算机程序,你在打的游戏,你听歌软件。往更高层走那应该就是人工智能啦

计算机和大脑的同构

2.大脑的符号 本书最大的一个疑问:大脑如何通过一堆神经元网络中化学物质的传递而最终产生智能。那种从低层到高层的汇聚是怎么发生的? 作者的推测是:从物理基质到高层的智能,中间可以看成许多由无数符号构成的符号层 符号是大脑这个复杂系统里的子系统一切心智活动都是大脑内的符号间的相互作用 我们能思维就是因为脑中有表示现实世界的符号,世界的样貌不是通过感官直接进入意识,而依赖于符号在我们脑海中呈现,我们对现实世界的所有认知在大脑中都有相对应的符号,这种对应是十分复杂而灵活的,并非一个概念对号入座一个符号那样死板。并且符号层是有多个层次的缠结结构,因此一个思想会牵涉到不同层次的符号作用,这让大脑的那些中间层非常难以捉摸 思维依赖于符号,符号又依赖于底层物理信号,神经反应→符号活动→思维概念 这就是思维的实质

3.大脑的同构与形式系统的意义(重点) 同构也是本书最重要的概念之一,意为保存信息的变换。两个同构的事物它们既有差异又有共同点,它们的结构可以相互映射,一个结构的部分在另一个中有相对应的部分,而且其对应的部分在总体结构中起着相似的作用 我们能认识事物的意义就是因为同构,对于同构的认识在人们脑海中产生了意义。通俗的讲我们看到一个新事物或接收到一条新消息时会把它跟经验里的旧事物做对比,以旧认新,当找到新旧的相似点,发现二者的同构关系时我们才能给新事物一个意义。所有的形式系统也因同构地反应了现实世界才有了意义。比如书主介绍的pq- 系统 ,它的定理长这样: -p-q-- -p--q--- --p--q---- 我会把系统解释为加法,因为每一个符号都能找到准确的解释, 系统和现实世界的加法产生了同构。而同时我们脑中表示pq-系统的符号和过去经验中表示加法的符号发生了关系:

大脑符号,现实世界的加法,pq系统两两同构

pq系统因和加法同构而有意义,它和加法同构是因为我们把它解释为加法。但你也可以把系统解释为其它东西,不同的解释可能产生不同的意义,但前提是要与这个系统存在某种同构关系(如果你把p解释为屁股,q解释为球,- 解释为树,这个系统是没法产生意义的),所以意义不止一种,一千个读者眼中有一千个哈姆雷特就是因为哈姆雷特在不同人脑中同构于不同的事物。 人类通过构造同构于世界的形式系统来认知世界 。物理学家用F=ma 来描述自然界的力,化学家用元素周期表反映物质组成,弗洛伊德用本我,自我,超我的模型解释心灵结构。人类认知世界的过程就是人类在各学科构造形式系统并用其中推演出的定理来描述世界现象的过程(这句话再出现一遍),这应该更能让你了解哥德尔定理的发现有多么重大的历史意义 这里还有个问题:世上所有的现象都能构建与之同构的形式系统吗?有没有在本质上毫无意义毫无规律的现象? 我们的直觉是有,因为根据经验,生活触手可及的地方都充斥着太多毫无意义的东西,但作者却偏向认为:世上没有毫无意义的消息,只是你没找到释读的系统罢了 作者用数列举例子: 7 8 5 3 9 8 1 6 3 3 9 7 4 4 8 ...... 你可能会认这是毫无规律的随机数列,但实际上它是 pi/4的小数部分。这其实就说明自然界的一切现象,不管乍一看多混乱都有可能被形式化 我们可以认为现实世界只为我们提供现象,而发掘意义需要我们找到解释现象的形式系统 作者还有个充满决定论意味的猜想:从广义上看,现实世界本身就可以看成一个非常复杂的形式系统,他的符号不是写在二维的纸上,而是在三维空间里运动的粒子。如果真是这样,我们可以设想这个无比宏伟的系统的定理可以推出粒子在宇宙所有时期的所有布局!

4.大脑和自我 知道了同构和符号的概念后我们就要问:自我到底是什么?在我们大脑中的“自我”是什么模样?自我意识究竟是什么?如果没有自我去察觉,这些符号的活动又怎么能产生出意识呢? 作者坚持认为意识的涌现已经包含在前面描述的硬件-符号-智能的层级模型里, 自我意识是是大脑中符号层面的东西,是一个涵盖许多符号的符号集,它具有一定的自主性。可以观察其它的符号的活动,甚至还有表示其它符号的符号。这是一个极其复杂的现象,作者对此有一段哲学化的描述:

“我一直假定有一个表示自我的子系统。像这样的子系统怎么能保证实际存在与我们的大脑里呢?如果没有自我符号的发展演化,一整套复杂的符号网络———比如我们上面描述过的那种——也能够发展演化吗?如果没有一个表示宿主的有机体符号,这些符号极其活动怎么能实现那些“同构”与周围世界中的实际事件的心理事件呢?进入系统的所有刺激在片刻中都集中在一个很小的空间范围之中.要是没有一个并表示有机体的符号,处于这个有机体中的大脑符号结构就会有一个很显眼的洞,需知,在这个大脑符号结构所反映的事件中,那个有机体扮演着一个比其他对象都更重要的角色。实际上,仔细想一想的话,理解那个围绕着一个生物体的世界的唯一途径,似乎就是在与周围物体的关系中理解这个生物体所起的作用。这就必须要有一个自我符号存在。”

5.大脑是智能所必要的吗? 底层的信号发射导致高层符号的激活而产生智能,那高层的活动能否脱离底层的基质?也就是说符号和智能可否不局限于人脑细胞的介质?也许智能是一种能从硬件中抽取的出来的软件性质,它具有自身高层的规律。底层的基质只要达到了一定的条件就能汇聚成高层的活动,产生智能,而基质并非要是人脑神经元。以蚁群为例,蚂蚁大脑仅有大约十万神经元,几乎不能承载任何复杂的信息,但它们却可以修筑复杂的蚁巢,可能的解释是:智能在蚁群整体中产生了! 我们可以把整个蚁群看成大脑,单个蚂蚁不具备智能,却可以担任低层的基质,做机械化的简单工作,而蚁群里的一支蚁队,它们的肢体,气味,移动,所有的共同行为可看成是符号层面的活动,在这个层次上蚁队之间有信息的交流,这种交流活动汇聚成为整个蚁群的智能,一个蚁群可以思考如何建造蚁 如果产生智能并不非要人脑细胞,这对人工智能事业将会是极大鼓舞

6.人工智能与自由意志 底层基质的神经信号活动虽然复杂,可都还是由确定的规则支配的活动,因为每条神经细胞的信号传递理论上都可以被确定下来,因此大脑本质上可以看成数学的对象,单个神经元的行为能用计算机描述,那么:大脑活动能用计算机模拟+智能是可抽取的 → 人工智能是可实现的 人工智能的研究目的其实不是模拟神经网络,而是实现从其它的基质涌现出智能,从底层硬件基质到低层程序再到高层程序,AI所要研究的就是如何接收上一层次的描述生成下一个层次的描述,但不管怎么说,如果智能的神秘面纱下不过是由加减法支配的线性活动,那AI难道不是指日可待 但是机器或者程序要怎样才算有了智能?我们一般认为,机器之所以是机器是因为它只在人给它限定的范围内工作,它不能自己决定自己的行为换句话说,它没有自由意志。那自由意志又是什么? 作者推测自由意志是大脑中代表自我的符号与其它符号相互作用的结果,设想如果一个程序的符号(包括自我符号)能够影响它自己的行为,它看起来是否就像是有了点自主的意识呢?当程序组快化的“自我”概念出现之后,外界的信息的刺激就会被送到一堆纠缠的符号之中,吞没在自我符号和其它符号的相互作用里,这时候的程序就不能精确地控制它行为的每个细节,因为内部反应变得复杂,它也许开始对自己的工作过程有一种“直觉”,这时候“意义”也许在它的系统里出现,我们就很难说它是不是一个智能体了。系统的漩涡中所有层次相互交错,创造力,意愿,直觉,意识也都会浮现出来。。。。


三,一个同时存在于数理逻辑,分子生物学缠结层次系统

这个部分内容在书中篇幅不大,但能看这是侯世达最得意的一个构想

从低层的基质到高层的智能,这是一个从简单到复杂的渐成过程 ,让人联想到生物学中从遗传性到表现型的细胞过程。作者想在分子生物学中探寻这种渐成过程的秘密,在智能结构和生命结构中寻找到类似的系统。他在DNA中找到了一种能进行自我反馈的结构,并发现它与TNT数论系统有着高度的同构

我们在中学都学过DNA通过复制产生DNA双串再有丝分裂进入两个细胞当中,一个DNA双串先分裂成两个单串,随后是碱基配对形成两个新的双串

这个过程是依靠蛋白质完成的,三种酶(解旋酶,催化酶,聚合酶)直接作用于DNA双串执行复制的工作。而蛋白质本身又是经DNA转录,翻译形成,DNA包含了生物体所有信息,显然也包含这三种酶的信息,也就是说DNA是自带复制基因的自复制的系统。现在我们把这个系统简化,仅保留DNA复制需要用到的东西:DNA和蛋白质,看看DNA究竟是如何完成自复制的

蛋白质的形成需要转录和翻译,这就要用到其它蛋白质:核糖体(生成蛋白质),RNA催化酶(转录mRNA)。这时我们仿佛陷入一个怪圈:DNA的复制需要蛋白质→蛋白质的形成需要蛋白质→蛋白质的形成又需要蛋白质→.....这样追究下去,DNA似乎永远也没有办法复制。但事实que不是这样,这些纠缠的关系在细胞中被整合成一种协同作用,所有的东西被一起复制了出来,这系统的魔力。看似简单的组成却包含着我们难以企及的复杂性

我们难以弄清这种协同是如何发生的,但这能带给我们启发:从遗传性到表现型,从底层算法到高层智能,从无机物到有机物,所有从简单到复杂的过程中,我们都假定在开始时会有一个处在零界点的系统,这个系统的复杂性刚好强到足以支承那种“揪着自己头发往上升”的过程发生。对于细胞,有这么一个刚好强到转录到翻译的过程能够进行的支撑系统,它由核糖体和其它让转录翻译需要的蛋白质组成,它们的协同使自复制可以发生,可以不断地自动地复制下去

"一个足够强有力的支撑系统 ,强到可以自我复制"这是否让你联想到前面介绍的"足够强有力的形式系统 ,强到可以自我谈论"没错~作者就是以此构建了分子生物学和数理逻辑学的同构,这两个都是缠结的层次系统画出示意图就能一目了然二者的同构关系

两大系统的同构

两个系统都有一个可以无限地往上叠加到任意的复杂度怪圈。让人想到智能的异层结构——一个足够复杂的底层基质导致高层的怪圈,而正是这种自己作用于自己的机制能使整体进入不同层次, 让TNT可以谈论自己,让DNA可以复制自己。智能和生命的秘密就隐藏在这里面。作者认为,这二者的同构实际上是同一现象在不同外观下的呈现,本质都是同一种不为人知的规律在操控,支配着宇宙的万事万物


四,巴赫和埃舍尔的作品里的类似对应物

① 埃舍尔

埃舍尔的作品,充满了矛盾图形,悖论,无限循环,自指等元素,给了本书概念极好的视觉表示,举几个例子说明

《龙》:跳出系统,超越自己也许是注定做不到的事情

这条在二位平面中的龙极正在力挣脱自己的二维性,将头和尾巴穿过了自己平面的身体,但在我们三维世界的人看来,它是徒劳的,它在二维之中模拟了三维,但这不意味着它就能跳出二维,它始终只是个二维的生物

《画廊》:为哥德尔不完全定理定制的图像说明

青年在欣赏一副幅画,画的是一个小镇,小镇里有一座画廊.....在这个循环中。画里有画自己,青年在画中能看到在看画的青年。。。。。画与青年都以某种方式包含了自己,然我们想到那个谈论自己的公式“G”。而整幅画的中心处有个空白点,那是一个不可避免的缺陷,作者没办法完成因为他是必须存在,这就是不完全的象征,《画廊》系统是不完全的,但是身在系统内青年看不到,只有身在系统外的我们理解

《画手》:画出来的说谎者悖论

埃舍尔的手画出了互画的左手和右手,让人不经意间陷入究竟是哪只手画的哪只手的迷思,这和双句版 说谎者悖论如出一辙:

下面这句话是假的

上面这句话是真的

画中的左右手是一个相互缠结的怪圈结构,也是人脑的心智层的一个同构表示,而埃舍尔本人的手就像是心智底层的神经元结构,是不受高层干扰的硬件层次,画中则是缠结的软件层次,软件层符号间相互作用难以捉摸,如同画中那样难以捉摸的两只手。但是底层的硬件处在不受这些复杂结构干扰的层次上,埃舍尔和我们能在这幅画的层次之外清楚地观察这纠缠的怪圈

② 巴赫

人类的思维就像一曲美妙的多声部赋格曲,这样的想法让作者把巴赫作一个大主角写进书里

巴赫的音乐,或明或暗地涉及到了本书讨论的那些关于思维,结构的重大概念,举例介绍:

1,音乐与同构:卡农曲是一种结构复杂的曲式,由主题和不同声部主题的副本组成。副本在音高或时间上和主题相互交错,虽于原主题有差异,但却包含所有原来主题的信息,这种保存了信息的转换就称为同构

2,音乐与自指:自指现象体现在巴赫成就最高的赋格曲作品《音乐的奉献》中,里面有的乐曲不但穷尽了巴赫所有的变奏技巧,而且其中的形式相互交织让整部作品也呈现出赋格的样貌,它是一部关于赋格的赋格 ,在另一个层次上谈论自己,这不就是自指的含义吗

3,音乐与怪圈:怪圈指往一个方向穿越层次却又回到原点的现象。是贯穿全书的一个重要概念。巴赫有一首“canon per Tonos”被称为无穷升高的卡农,它的结尾音以某种巧妙的方式回到了开头的音,而整首曲子的曲调是不断网上走的,如果不间断低单曲循环这一首就能给人一种无限地升高的感觉。 它所用的技巧原理如下图

整个旋律走向是在往上,随着音调升高音符的强度减弱最终到消失,而同时逐渐增强最下面的声部,这就能让曲子的结尾回到起始的音高

4,音乐与心智层次:书中有一篇关于如何听赋格曲的对话,赋格由多条不同的旋律线同时演奏,旋律交织却能产生和谐的效果。里面就讨论欣赏赋格是应该把旋律作为整体感受还是作为多条旋律线的组合感受,两种不同层次的感受方式会带给你不同的聆听体验。这里实质上是说心智的层次结构,这两种聆方式是在讲同一事物在不同层次上的表现。也是大脑和思维的类比,思维即在不同层次上做同一件事,在低层被描述为神经信号的传递,中间层次责备描述成符号的相互作用,高层便是心智

5,音乐的美:在这本讨论思维的书中作者还关心一个问题:美感是不是大脑过程?美是能被计算机程序化的东西吗?一个事物的美是它固有的属性吗?还是它只是触发了我们大脑的某些符号让我们产生美的体验?这种触发是必然的吗?或者说美是一种确定存在或不存在的东西吗?如果特定的人在特定的时间地点看听到一首乐曲的话。.。关于美的问题,作者持有一种偏浪漫主义的看法,他认为即使大脑过程都可以被程序化,但是美却是可以延伸的。一段音乐进入大脑,我们会为之构件一个心智表示的结构,并会和其他过去经验里形成的符号结构发生联系而显露出意义,这种联系历久弥新,四方延伸的,因此美可能是一种在时空中流动的东西

③ 巴赫和埃舍尔

作者有时甚至会让巴赫和埃舍尔直接形成同构,如书中的《螃蟹卡农》

螃蟹卡农是《音乐的奉献》其中的一首,巴赫把一个主题正向和反向地罗列交织在一起。让人联想到螃蟹行走的样子。。而埃舍尔也有一幅主题正向和反向地罗列交织的作品。巧的是,他所用的主题就是螃蟹!我们可以看出这二者的同构关系,而且还是多个层次上的同构

如此巧合堪称神来之笔。在次基础上侯世达构造了一段名为《螃蟹卡农》的对话。用对话结构模拟逆行卡农,倆主人公分别谈论巴赫和埃舍尔,一起谈论作品的逆行结构。中途螃蟹又作为一个角色加入进来。。。这是一篇高度自指的对话,像墙上挂满各式镜子封笔房间,许多映射在其中共振回荡。。如此精妙绝伦,值得原文呈现!

巴赫和埃舍尔的作用不仅仅是给哥德尔配插图下注释。事实上这三者相辅相成才铸就了这本书,作者说他在写作思路上的突破很大因为对巴赫和埃舍尔作品的偶然发现和再发发现,它们以更加巧妙(有时真是不可思议)的方式联系于书中的概念和内容,它们几乎无处不在,阅读的过程仿佛欣赏一部结构精妙的赋格曲,又如同在埃舍尔的迷宫中漫游。一次让人回味无穷的阅读体验~~

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