纽结理论 纽结理论 评价人数不足

纽纽纽结

Ayasaki Hayate

  第一本凭自己的努力读完的GTM,还是很值得纪念的。薄薄的小册子读了快一学期,因为没有人带自己慢慢学根本快不起来;好在终于读完了而且搞了大部分的证明细节,尚能接受。

  本书大约是纽结理论的入门知识,都是上世纪上半叶的经典结果。纽结吸引人在于问题的门槛很低大家都能看懂(如果不从S^n在R^m空间嵌入的视角来说的话)但难以解决。这本书使用的数学工具基本不超出本科课程内容——就是基本群自由群弄弄,后面还涉及一些略高级的环论——却能得到不错的结果。可以说是在大学学完了一堆零零散散的自己也不知道是干什么的基础课之后,第一次感受到用那些知识来看一个实在的数学问题、把各种手段运用起来是个什么样子(可见我本科学得很差)。

  这里的理论建立于基本群之上,纽结补空间基本群是最容易得到的拓扑不变量,但是研究基本群过于麻烦故转而寻找计算性更好的不变量:初等理想和纽结多项式,所以整个流程都算是在对基本群做进一步操作。章节安排上就是拓扑的和代数的螺旋式上升,读起来很清晰。这些不变量已经可以帮助我们区别一大批纽结了,颇有成效。不过可惜的是有些纽结在基本群的表述这个层面上就无法分辨,所以注定有局限性。...
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  第一本凭自己的努力读完的GTM,还是很值得纪念的。薄薄的小册子读了快一学期,因为没有人带自己慢慢学根本快不起来;好在终于读完了而且搞了大部分的证明细节,尚能接受。

  本书大约是纽结理论的入门知识,都是上世纪上半叶的经典结果。纽结吸引人在于问题的门槛很低大家都能看懂(如果不从S^n在R^m空间嵌入的视角来说的话)但难以解决。这本书使用的数学工具基本不超出本科课程内容——就是基本群自由群弄弄,后面还涉及一些略高级的环论——却能得到不错的结果。可以说是在大学学完了一堆零零散散的自己也不知道是干什么的基础课之后,第一次感受到用那些知识来看一个实在的数学问题、把各种手段运用起来是个什么样子(可见我本科学得很差)。

  这里的理论建立于基本群之上,纽结补空间基本群是最容易得到的拓扑不变量,但是研究基本群过于麻烦故转而寻找计算性更好的不变量:初等理想和纽结多项式,所以整个流程都算是在对基本群做进一步操作。章节安排上就是拓扑的和代数的螺旋式上升,读起来很清晰。这些不变量已经可以帮助我们区别一大批纽结了,颇有成效。不过可惜的是有些纽结在基本群的表述这个层面上就无法分辨,所以注定有局限性。值得一提8章4节给出的几个比较诸不变量强弱的例子,很有价值!虽然纽结作为数学对象很初等很直观,但本质上很不简单而且现在应该也没有找到一劳永逸的方法,这就有意思。

  个人最不理解的部分是群环中的求导算子的引入,为什么这个家伙可以为我们抽出不变量,想法是源于何处。这一段真的是从天而降的东西,大概需要更多代数上的知识才能理解。

  这本GTM没有出现在Hatcher的推荐书目中,大约是过于古典?我是被同学介绍的,去年听学校暑期拓扑系列讲座时买的,拖到今年出国旅游的时候终于开始看了。因为自己水平差就要挑选页数少、插图多的书来保证阅读兴趣。看着终于每一幅插图都能被自己理解还是很欣喜的。这大约是专业方向的第一本读物,也像是为研究生做的第一份准备。另一本纽结理论GTM 175倒是在书单里,大概未来也要读。就前面四年的情况来说我是不指望自己能做研究的;在喜欢的方向上多看一些就好。听说纽结在物理的规范场论里是有用的,而在生物里研究蛋白质时是一定有用的,希望未来能真的去看一看这些话题吧。
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