三体Ⅲ 三体Ⅲ 9.2分

多体,公理化,科学思维及其他

孙正达
本文曾在5月29号在人人上发表并小范围传播了一次,原本是一篇数学文化的论文。这是我大修几近重写的一个版本,想和大家重新分享一次阅读与思考《三体》的体验,此后的讨论也均以此处文本为准。首先说明,我学习物理,本文目的在于科普,但会以论文的要求来要求自己,准确第一,绝对遵从于数理实际。而通俗排在第二位,本文邪恶地只用了一个公式,力求让没看过三体原著或非数理专业人士也能有所收获,并强烈建议读者读完后维基相关词条。但也敬请读者仔细厘清我的观点与数理事实的区别。文章有些长,(观众:X,这还叫有些长么……)但层次还算明晰,可以直奔每节的最后了解大意。
写作原因,科幻与科普
科幻小说的定义一直在学界论说纷纭,较为权威的一个定义认为,科幻小说是一种描述科学对社会影响事件的文学作品。在以三体(新版更名为《地球往事》三部曲)为首的一批作品的推动下,科幻小说在当今越来越受到主流的重视。硬科幻是科幻重要的流派,其最大特点就是重视技术内核。在典型的硬科幻中,科学不是噱头,其进展与细节是小说不可或缺的成分。种种的细节描写细致精到,又天马行空,正是这样的技术内核让我们大呼过瘾。然而这样的小说,尤其是“点子”丰富如三...
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本文曾在5月29号在人人上发表并小范围传播了一次,原本是一篇数学文化的论文。这是我大修几近重写的一个版本,想和大家重新分享一次阅读与思考《三体》的体验,此后的讨论也均以此处文本为准。首先说明,我学习物理,本文目的在于科普,但会以论文的要求来要求自己,准确第一,绝对遵从于数理实际。而通俗排在第二位,本文邪恶地只用了一个公式,力求让没看过三体原著或非数理专业人士也能有所收获,并强烈建议读者读完后维基相关词条。但也敬请读者仔细厘清我的观点与数理事实的区别。文章有些长,(观众:X,这还叫有些长么……)但层次还算明晰,可以直奔每节的最后了解大意。
写作原因,科幻与科普
科幻小说的定义一直在学界论说纷纭,较为权威的一个定义认为,科幻小说是一种描述科学对社会影响事件的文学作品。在以三体(新版更名为《地球往事》三部曲)为首的一批作品的推动下,科幻小说在当今越来越受到主流的重视。硬科幻是科幻重要的流派,其最大特点就是重视技术内核。在典型的硬科幻中,科学不是噱头,其进展与细节是小说不可或缺的成分。种种的细节描写细致精到,又天马行空,正是这样的技术内核让我们大呼过瘾。然而这样的小说,尤其是“点子”丰富如三体者,或许需要一些专业背景知识。你会发现,在掌握其背后的科学后再重新审视,你会有完全不同的感受。
科幻反映着一种科学到社会的关系,并且常常肩负着一种科普与传道的责任,每一篇成功的科幻小说都是科学理论的再发挥再创造,并且是以一种令大众乐意接受的方式传播着科学思想。就这样,我希望我的文字能让读者更好的体验科幻的魅力,同时普及一些数学物理的基本思想。还要指出的是,科幻与正统科学毕竟是有区别的,这在下文还会指出。
多体问题的科幻设定
三体一是系列的第一部,整个三部曲,三体文明两百多轮的毁灭与重建,人类文明与三体文明相隔4光年的恩怨情仇,都起源于三体这一最根本的设定。
小说之中关于三体文明的描述是这样的:
“太阳的运行之所以没有规律,是因为我们的世界中有三颗太阳,它们在相互引力的作用下,做着无法预测的三体运动、当我们的行星围绕着其中的一颗太阳做稳定运行时,就是恒纪元;当另外一颗或两颗太阳运行到一定距离内,其引力会将行星从它围绕的太阳边夺走,使其在三颗太阳的引力范围内游移不定时,就是乱纪元;一段不确定的时间后,我们的行星再次被某一颗太阳捕获,暂时建立稳定的轨道,恒纪元就又开始了。这是一场宇宙橄榄球赛,运动员是三颗大阳,我们的世界就是球!”
三颗恒星相互间的运动,是完全无法预测的。三体文明就在这种极端恶劣的条件下顽强地生存者。文明一次次地毁灭,又一次次的新生……
把一个再简单不过的科学概念与文明的整体命运联系在一起,这是大刘在文学上了不起的成就。读者在文明的一次次毁灭与重建中会对这个文明产生真正强烈的共鸣与怜悯。 但问题的焦点在于,三体运动的“不可预测”。后文中三体文明发展到了相当高的水准后,用了最强大的计算机也未能完全解决这个问题,相反他们被判处了死刑:他们证明,三体问题不可解。
这是很出乎一般读者意料之外的一个结果:看似非常简单的一个东西,天体之间万有引力,怎么就不可解呢?所以对这里的不可解,还要做详细的阐述。
规范术语,什么是解
我将专门用一节来划定我们将要讨论的东西是什么。事实上许多问题看似扑朔迷离,使用规范化的科学描述后才能进行有效的讨论,否则就是鸡同鸭讲。
多体问题并不是刘慈欣的首创,它在数学,物理发展史上占据着非常重要的地位。多体问题,在物理实际上,指的就是已经多个物体的初始速度、位置与质量,求各物体随时间推移运动变化情况。经典力学领域里中相互作用由万有引力给出。
需要指出的是,刘慈欣在这里玩了一个文字游戏,对于三颗恒星与三体行星这一系统,这实际上是一个四体问题。也不知道是大刘的无心之失还是有意为之,既然叫三体都叫习惯了也改不过来,(四体明显不好听……)就随遇而安吧。但是,由于行星质量相对恒星太小,可以忽略行星对恒星运动的作用,可以将这作为三个恒星运动的三体问题,再加上一颗行星在引力的作用下绕三星运动。这是典型的简化模型的手段。
为了解决多体问题,我将其细分为数学抽象与物理实际两个层面,同时,遵循 “解是什么——解是否存在——怎样解” 的逻辑来进行思考。
首先,科学中“解”有着丰富的含义。尤其是三体问题出现了“不可解”这种说法之后,我们更应该对这个词语小心。
一种常见的想法是,多体问题是有“解”的,随便即可构造几组“解”出来,比如在两星引力平衡的拉格朗日点就能找到,这方面人类已做了相当多的了解。可以参见大牛Matrix67的《N体问题的30个周期性解》(N体问题的30个周期性解),有动图展示。这样的特解显然是存在的。但这不是反对“不可解”的理由。
构造出来的特解存在已经能够说明多体问题可解么?显然不是。第一,从逻辑上讲,证伪一个命题,只需反证出他有一个错误;但要反过来说明命题成立,就不能再使用“举例”出特解的方法。第二,也是本质的,“解存在”和“可解”实质是两个不同的概念!不能混淆。
“可解”的含义可以这样说明,我们希望能拿到关于此后物体运动关于时间的精确函数,即,和特解相对应的,对这个经典力学系统求出它的通解。
我们只要知道任何一个时空断面下系统的位置、质量、速度,那就能解出系统在今后任一时间的所有运动状态。如果能做到这一步,这才叫“可解”。这是我对可解二字的解读,其中透露出浓重的决定论意味。可解是人类理性对自己提出的高要求,这是数学与理性之美的很好诠释。
让我们来继续规范我们要讨论的东西是什么。
多体问题要求物体运动变化状况,一般来说,即求q(t),q为物体在参考系中的位矢,其一阶导为速度,二阶导为加速度,q(t)即可反映出物体的所有运动变化情况。 那么,我们的问题就可以说成,对于一个N体问题,已知初位置、初速度且相互作用满足经典的引力二次平方律,求各物体的q(t).这就完成了物理建模的第一步。
第二步是建立方程,对于这样的问题经典力学有许多方法进行处理,并且相互之间都是全同的,为了便于理解而采用高中的牛顿体系来建立,我庄严宣布这是本文的唯一一个方程式,形式也很好懂:
即每物体受到的合力等于其他物体对其引力之和。γ(伽马)为常数。需要注意q是矢量。这是一个典型的二阶常微分方程组。
方程的含义很好懂,但要说明的是,牛顿体系虽然建立容易,但其以“力”为中心的研究方法并不是本质的。分析力学中会使用全新的观点来审视,拉格朗日或哈密顿体系绕开了约束力而直接使用广义坐标来处理问题,会使问题简便很多,体现出强大的适用性。之所以在这还是使用牛顿来表述,主要是方便理解,同时虽然表述不同,在数学上都是二阶常微分,对下面的诠释没有影响。
所以,在数学上,多体问题指的就是这一组微分方程的解。
解的存在性
厘清了标准,剩下就按逻辑来按部就班了。但在此还是继续就解的存在性进行深入。本节要论证的是,多体问题的解必定存在,且唯一。这与不可解并不矛盾。
还是分为物理与数学两个层次。在实际中,用滑稽但正确的话来说,最简单的证明就是,它就在那里,不证自明。
自然界中不难找到多体问题的运动实例,所有的天体运动实际上都是多体运动模型,宏观上服从经典力学,较简单的地月日三体模型,太阳系模型,微观的服从量子力学的多体问题,如晶体、原子模型……事实上,多体问题出现在物理学的每个角落。
要直观一点的可以像《三体一》中的情节那样,3个铁球,用磁悬浮屏蔽掉重力。大自然是最伟大的魔术师,这种表演分明就是在告诉人类,看,这就是解。这样论证的含义是其含义是,实际运行过程中物体所表现出来的轨迹自然是此问题的一组解。
要论证实际中解的唯一性,思路和上面其实是一样的,因为在我们的现实中,就这么一组解。但我有必要进行特别说明。
可能会有人反驳,存在这样一种情况,在另外一个时空中,完全相同的初条件,会有另一个结果。这样解就不是唯一的。我们只看到了我们的这一组解,所以有这样的结论。
这是大家所喜闻乐见的平行宇宙的一种变体,诸如穿越这样的话题让你们对此并不陌生。平行宇宙的涵义很丰富,甚至在量子力学中都有专门的多世界诠释可以看做平行宇宙的一种,但我还是得说,绝大部分关于平行宇宙的说法,都是不科学的。(需要说明,本人对逻辑与哲学涉猎不多,论证可能有问题,敬请注意。不感兴趣的同学可直接跳过)
“这不科学”这句话有点被用滥了,我在这里想表达的是,平行宇宙违反了科学的可证伪性。可证伪性是科学哲学中一个很重要的逻辑概念,即理论必须容许逻辑上可能的反例,也就是说,他有错的可能。一个不可能出错,总是正确的理论是非科学,我们不跟你玩。平行宇宙无论如何能把话编圆了,因为我们的实际宇宙只有一个,无法去检验另一个宇宙的情况,所以想咋说咋说,这种理论的流氓之处就在于此,你无法证明。这种非科学处处可见,不用举例了。
科学理论除了公理作为不证自明的第一因外,都需要具有可证伪性。一般说来,对于不可证伪的理论都是不加以研究的,因为缺乏实际讨论的意义——这玩意已经被预设为“不能出错”了。同时,不可证伪的理论还是缺乏指导意义的,理论的正确性在其被推翻时被确立——比如经典力学在高速时被相对论力学取代,反过来就确立了自身在宏观低速条件这一适用范围的正确性。没法推翻自然谈不上这一切。总而言之,不可证伪的理论,不科学。
细心地人会发现,公理同样不可证伪。关于此话题的论辩可以参见波普尔及其他科学哲学流派的观点,由于所学未深,在此就不深入了。对于平行宇宙来说,由于其和现行的科学体系并不矛盾(讲得都是另一个世界的问题),所以将其作为一条公理加入现行科学体系是一件疯狂但并不是不合理的事——算是热爱穿越者的最后一条稻草?(但鉴于对因果律的破坏可能还是不太靠谱,此话题可以下次继续说),奥卡姆剃刀在此是否适用还值得商榷。
以上说明了,多体问题的解在实际中是存在且唯一的。假设上面关于平行宇宙的说辞没有说服你,但下面的数学解释还是会让你承认,即使平行宇宙我不能推翻,但解真心只有一个。
数学多体问题是对物理多体问题的抽象与量化,其表现形式就是那个微分方程。既然写成那样自然就任人宰割了:一句话,常微分方程中的柯西-利普希茨定理(Cauchy-Lipschitz Theorem),又称皮卡-林德勒夫定理(Picard-Lindelöf Theorem)直接说明了常微分方程的解是唯一存在的。证明在此不列出,很短很好理解。
这个定理是决定论意志的体现,我们从这个定理出发可以得出,这个方程所限定的过程必定会按照规定的一条路径发展下去。我们从任何一点开始,后面函数的变化彻底决定于这一刻。我们在写出方程的时候已经决定了一切。
继续深入,这是本文第二次出现决定论的描写,可以看出,两处的说法毫无二致:经典力学与微分方程其意味实际上是一脉相承的,而我要指出,经典力学与微分方程,与其背后遵循的机械决定论的哲学思想是完全一体的。
实际上,经典力学的全套知识全部服从于决定论,运动状态,所处位置都是完全确定的结果。常微分方程是对牛顿力学的表述,因此描述常微分方程的解唯一确定并不奇怪。
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