Strongart数学笔记:纯粹层论上同调入门指南

Strongart
2016-05-30 看过
  有些人把层论归结为代数几何的范畴,主要是因为代数几何比较畅销,其中确实也用到了层论工具,但层论不仅仅为代数几何服务,它在拓扑与分析中也有非常重要的作用,本质上应该是更接近于拓扑概念。有些人感觉代数几何入门困难,很可能就是在学习代数几何前,缺少了一个纯粹层论上同调的知识背景,下面我们就来展示一下纯粹的层论上同调。

 
    让我们先从层(sheaf)的概念开始,实际上,层就是在拓扑空间的开集族上定义的到Abel群(或其他良好代数对象)的映射,可以视为拓扑流形上连续函数的公理化,后者不但说明了层这个概念的直观来源,同时还反映从局部性质到整体行为的基本目的。
    从比较技术的语言来说,设X是拓扑空间,X上的Abel群预层(presheaf)F可定义为:对任何开子集U,都有Abel群F(U),使得对任何开子集包含V≤U,有Abel群的映射ρ_UV:F(U)→F(V),满足条件:
    (0)F(∅)= 0
    (1)ρ_UU:F(U)→F(U)是恒同映射
    (2)若W≤V≤U是开子集的包含,则ρ_UW = ρ_UVρ_VW
    这样的预层X是层,若它还满足下列条件:
    (3)对X内的开集U,{V_i}是的开覆盖,若s∈F(U)限制在任何V_i上为零,则s=0.
    (4)对X内的开集U,{V_i}是的开覆盖,若对任何i,存在s_i∈F(V_i)满足一致性条件:对任何I,j,s_i与s_j在V_i∩V_j上的限制相同,则存在s∈F(U),使得s在V_i上的限制是s_i.
    这里的一致性条件又可以视为粘合性质,假若空间不存在整体性的对象,那么就可以构造出不满足粘合条件的非层的预层。比如对于上面函数层的例子,我们可以稍加变化,取R上的紧支连续函数层,那么对所有有界开区间U_i,其上的单位映射1_(U_i)就是不可粘合的。
    可定义X上层F的茎为F_x = lim F(U),其中U取遍X是所有邻域。还可定义X上层F的支集supp(F)为所有满足F|U=0的开子集U的并的补集,即 {x∈X;F_x≠0}的闭包。
    实际上,任何预层都可以伴随一个层,其方法是:给定预层F,对X上任何开集U,s∈F(U)是U到∪(x∈U)F_x的自然映射。Abel群层态射余核说是预层,但不是层,详见下文中来自复分析的例子。
    我们还可以用范畴的观点对其做统一刻画,首先在拓扑空间X上定义范畴,其对象是X的所有开子集T,其态射给定为:对U,V∈T
        Hom(U,V)= 包含I:U→V,若U≤V;
        Hom(U,V)= ∅,否则
    从范畴论的观点来看,预层就是拓扑空间上所有开集的范畴到Abel群范畴(或其他良好代数对象范畴)上的反变函子,层则要这样反变函子还满足条件:对任何开覆盖U=∪U_i,由限制态射诱导的序列
        0→F(U)→ΠF(U_i)→ΠF(U_i∩U_j)
是正合的。
    X上预层的态射f:F→G指态射族f(U):F(U)→G(U),使得对T内任何对U≤V,有
        res_U f(V)= f(U)res_U:F(V)→G(U)
其中左边的res_U:G(V)→G(U),右边的res_U:F(V)→F(U)(请读者自己画交换图),
    层的态射就是它作为预层的态射。拓扑空间X上的所有层与态射构成Abel范畴,称为X上的层范畴,记作Sh(X).
 
    F是X上的层G的子层,若对任何X的开子集U,F(U)是G(U)的子群且F的限制映射由G诱导。若F是G的子层,则预层U→G(U)/F(U)生成的层是商层G/F.
    若f:F→G是X上的层映射,定义其核是由
            ker f(U)= ker{f(U):F(U)→G(U)}
定义的F的子层。f的像是伴随预层
            im f(U)= im{f(U):F(U)→G(U)}
的层。余核coker f定义为商层G/im(f).
    请注意,Im f(U)可能不是层,下面这个来自复分析的例子也许是最简单的。令Y=C\{0},O_Y是Y上的全纯函数芽层,定义f:O_Y→O_Y为:对任何X内开集U上的全纯函数u,f(u)= du/dz,则对任何有y∈Y有邻域V_y,Coker f(V_y)= 0,但dim Coker f(Y)=1,这里非满射的部分主要由du/dz = 1/z构成的。
    X上层的态射f:F→G称为单射,若ker f=0;称为满射,若coker f=0. 进一步,还可以定义层的正合列关系:层F→G→H在G处是正合的,其中f:F→G,g:G→H,若im f = ker g.
   我们有:层的序列0→F→G→H→0是正合的 iff 对任何x∈X,其茎上的序列0→F_x→G_x→H_x→0是正合的。
 
   下面看层上定义的算子,有时也被称为Grothendieck六算子:⊙,Hom,f_*,f^*,f_!与f^!
   给定拓扑空间X上的两个R-模层F与G,可以定义:
    (1)对X内任何开集U,有R-模张量积层:
            (F⊙G)(U)= F(U)⊙ G(U)
    (2)对X内任何开集U,同样有R-模Hom层:
            Hom(F,G)(U)= Hom(F|U,G|U)
    与张量积层不同的是,Hom层是用限制来定义的(为什么?),其结果就是不满足保茎条件。取X=[0, 1],B是以Z为茎的常值层,A=B_{0}是在{0}处的摩天大厦层(在{0}上取值Z,其余取值为0),则对任何U=[0,a),0<a≤1,有Hom(A,B)(U)= 0,故Hom(A,B)_{0} = 0,但Hom(A_{0},B_{0})= Hom(Z,Z)= Z!
    给定两个R-模层F与G与S-模层H,我们有下面的典型同构:
            Hom(H⊙F,G)= Hom(F,Hom(H,G))= Hom(H,Hom(F,G))
    给定拓扑空间上的连续映射f:X→Y,它诱导出对应层范畴上的推前函子f_*:Sh(X)→Sh(Y)与拉回函子f*:Sh(Y)→Sh(X)如下:
    (3)对X上的任何层F,有推前函子f_*(F)给定为:对Y上的任何开集V
            f_*(F)(V)= F(f^(-1)(V)
    (4)对Y上的任何层G,有拉回函子f^*(G)给定为:对X上的任何开集U
            f^*(G)(U)= lim_(V≥f(U))G(V)
     对X上的任何层F与Y上的任何层G,有伴随关系:
            Hom(F,f^*G)= Hom(f_*F,G)
     (5)对X上的任何层F,还有带真支集的推前函子f_!:Sh(X)→Sh(Y)给定为:对Y内任何开集V
            f_!(F)(V)= {s∈F(f^(-1)(V));f:|s|→Y是真映射}
      若i:X→Y是开或闭的嵌入,则对F∈Sh(X),有i_!(F)= F^Y为零截面扩张,即(F^Y)_x = F_x,若x∈X;(F^Y)_x = 0,若x∈Y\X. 而当Y是一点时,f_!(F)就是F在X上的紧支截面集。
     (6)遗憾的是,作为f_!伴随的f^!:Sh(Y)→Sh(X)却未必存在。对X的开集U,i:U→X为包含,g=fi,取G∈Sh(Y),假若其伴随关系仍然成立,就有
             f^!(G)(U)= g^!(G)(U)= Hom(Z_U,g^!(B))= Hom(g_!(Z_U),B)= Hom(f_!(Z_U)^X, G)
但这样的U→Hom(f_!(Z_U)^X, G)一般不满足粘合条件,所以它不是层!
     幸运的是,我们可以对这个结论进行修正(基本思想参见【6】的3.2节)最后在导出范畴内定义f^!,相应结论一般被称为Verdier对偶。设f:X→Y是局部紧空间的连续映射,则存在函子f^!:D^+(A_Y)→ D^+(A_X),使得对任何F∈Ob(D^+(A_X)),G∈Ob(D^+(A_Y)),有
            Hom(F,f^!G)= Hom(Rf_!F,G)
有时为了方便,我们还经常省略表示导出函子的符号R.
     综上所述,对于这个六个算子,我们下面的三对伴随关系:
    (1)F⊙-与Hom(F,-)
    (2)f^*与f_*
    (3)f_!与 f^!
    
 
    下面我们来看层的上同调,它可以通过Godement分解来建立。若F是X上的一个层,则存在层的正合列
            0→F→I^0(F)→I^1(F)→……
其中对任何j,I^j(F)是内射层,并且这个构造是函子的。
    事实上,这个构造基本平行于内射模的分解,我们可以令I^0(F):U→∪(x∈U)F_x,这样就将F嵌入了内射层I^0(F),I^0(F)称为F的Godement包络。我们继续这样的操作,把 I^0(F)/F嵌入内射层I^1(F)……,这样得到内射分解I(F). 记d^i:I^i(F)→I^(i+1)(F),则第i阶(松)层上同调定义为:
             H^i(F)= Ker d^i / Im d^(i+1)
    对拓扑空间X上的层F,还可以定义其Cech上同调如下:令U={U_i}_(i∈p)是X的开覆盖,对任何p≥0,记I*p为I的所有p+1个元素的集合,若K={i_0,…,I_p}∈I^p,令U_K=U_0∩…∩U_p,其中各U_k是U_i_k的简单记法,令
            C^p(U,F)= ∏(k∈I^p)F(U_K)
定义上边缘映射d_p:C^p(U,F)→C^(p+1)(U,F)为:对α∈C^p(U,F),K∈{i_0,…,I_p}∈I^(p+1)
            (d_pα)_K=∑(k=0,…,p+1) (-1)^j α(i_0,…,(i_k)^…,i_(p+1))U_(i_0,…,i_(p+1))
其中(i_k)^表示删除其中的i_k项,由此定义出X上第p阶层F的Cech上同调为:
            H'^p(X,F)= ker d_p / im d_(p-1),p=1,2,…
            H'^0(X,F)= F(X)
    在拓扑学中,我们有这样的结论:若X是可三角剖分的,则它关于域系数常值层的Cech上同调就是其单纯上同调。
   这两个层上同调之间是不是一致的呢?为此我们需要引入下面的零调条件:X的开覆盖U={U_i}称为关于层F是零调的,若对任何q ≥ 1,p ≥ 0,H^q(U_0∩…∩U_p,F)= 0,这里各U_k = U_i_k的开覆盖。
    下面是Larey定理:设X是仿紧拓扑空间,F是X上的层,U是关于F的局部有限零调覆盖,则对任何I,有自然映射诱导的同构
            H'^q(U,F)= H^q(X,F),q = 0,1,2,…
  其证明主要是构造对应于覆盖U的特殊分解F^p = ∏i_*(F|U_0∩…∩U_p),由此可以得到分解:
            0→F→F^1→F^2→……

            H^q(X,F^p) = ∏H^q(U_0∩…∩U_p,F|U_0∩…∩U_p)
由假设U关于F零调,故
             H'^q(U,F)= H^q(C(U,F))= H^q(X,F),q = 0,1,2,…
    由此可得,对可三角剖分空间X与X上的常值层F,其上的诸多上同调是一致的:
             H^q(X,F)= H'^q(X,F)= H_sing^q(X)= H_simp^q(X) ,q = 0,1,2,…
 
  
    拓扑空间X上的层F称为零调层,若H^p(X,F)=0,若p>0.
    拓扑空间X上的层F称为内射层,若Hom(-,F)是右正合的。内射层显然就是零调的,对此我们可以进一步细化。
    拓扑空间X上的层F称为松层(flabby sheaf),若对任何X的开子集U,限制映射F(X)→F(U)是满射。松层有个典型性质:设0→F→G→H→0是X上层的正合列,若F是松层,则对X的任何开子集U,0→F(U)→G(U)→H(U)→0是正合的。
    在仿紧拓扑空间上,内射层一定是松层。为此考虑内射层F的Godement包络I^0(F),由内射性可得F是I^0(F)是直和加项,因此可以由I^0(F)是松层导出F是松层。
    拓扑空间X上的层称为软层(soft sheaf),若对任何X的闭子集A,限制映射F(X)→F(A)是满射。对软层我们也有类似的性质:若F是松层,则对X的任何闭子集Y,0→F(K)→G(K)→H(K)→0是正合的。
    在仿紧空间X上,若A是X的子空间,则对任何层F,有F(A)= lim F(U),其中U取遍包含A是开子集。由此可得,仿紧空间X上的任何松层都是软层,但反之必然。比如X={1/n;n∈N}∪{0}上的连续函数层是软层,却不是松层,这主要是因为开集X\{0}上的连续函数可以扩张到X上。
    拓扑空间X上的层F称为良层(fine sheaf),若Hom(F,F)是软层。这个定义有下面等价条件(等价性的证明参见【7】的3.6-3.7)
    1) F是良层
    2) 对X的任何两个不交闭子集A与B,存在F的自同态限制在A上恒同,限制在B上是0.
    3)对任何局部有限的开覆盖{U_i},存在F的自同态f_i,使得Σf_i=1且对任何i,supp(f_i)≤ U_i
    上述性质(3)实际上就是单位分解的性质,良层就是有单位分解的层,因此光滑流形上的微分形式层是良层。设F是X上的内射层,可以证明对X上的任何层G,Hom(G,F)是软层,由此可得内射层一定是良层。利用单位分解,我们还能够证明:良层一定是软层。
    良层与松层是互不包含的。紧流形上的光滑函数层是良层,但不是松层;开集稠密的连通拓扑空间(比如取Zariski拓扑的实数轴R)上的常值层是松层,但一般不是良层,这两个例子都不是内射层,但却都是软层,因此是零调层。事实上,一般的常值层都不是软层,可剖分的可缩空间上的常值函数层是零调的,但它不是软层。
        纯粹层论上同调入门指南
    综上所述,我们的基本路线就是内射层→软层→零调层,其内射层分解可以表现为松层与良层两种具体形式,在存在单位分解的微分或者拓扑流形上,一般就考虑良层路线;而在不存在单位分解的复流形或者是代数簇上,则是需要考虑松层路线。
 
 
    扩展阅读:
   【1】Bredon G E. Sheaf theory[M]. Springer Science & Business Media, 2012. (在拓扑学基础上讲解层论的教材,本文主要参考书)
   【2】Kashiwara M, Schapira P. Sheaves on Manifolds: With a Short History.«Les débuts de la théorie des faisceaux». By Christian Houzel[M]. Springer Science & Business Media, 2013. (偏向于代数分析的层论参考书,技术细节比较丰富)
   【3】Dimca A. Sheaves in topology[M]. Springer Science & Business Media, 2004. (拓扑学中的层论,一份很精要的知识小结)
   【4】Wedhorn T. Manifolds, sheaves, and cohomology[M]. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, 2015. (微分流形上的层论上同调讲义,比较适合初学者入门)
   【5】Wells R O. Differential analysis on complex manifolds[M]. Springer Science & Business Media, 2006 (微分几何自带简易层论,也是非常好的入门书)
   【6】Banagl M. Topological invariants of stratified spaces[M]. Springer Science & Business Media, 2007. (相交上同调中的层论,提供了很多启发性的例子)
   【7】Godement R. Topologie algébrique et théorie des faisceaux[J]. Publications de, 1958, 1. (早期的层论经典参考书,但还没有见到英文版)

    原文地址:
http://blog.sina.com.cn/s/blog_486c2cbf0102w2zs.html
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