重新爱上数学，从本书开始

首先，在读《什么是数学？》一书前，读读《西方文化中的数学》比较好，因为读书要讲究循序渐进，后者是更为低阶的。 其次内容上，本书构造了以数学为中心的宏观地图，按时间顺序讲述，方便读者明白数学如何发展到今日（1953年），以及数学存在的意义。 再是形式上，作者克莱因直观、生动、清晰的讲述，把数学的魅力展现得淋漓尽致，尽管今日的数学极为讲究抽象和逻辑，但直觉和想象力给数学的冲击依旧令人惊叹。 最后联系上，马克思主义的认识论说，认识事物要以理性思维为主，情感、意志、动机、灵感、本能、直觉等非理性思维为辅，这样发现事物会有“柳暗花明又一村”的喜悦，科学的世外桃源正等着我们神驰飞往。 以下是对本书的归纳，方便后期回顾。 作者克莱因不仅是数学家，而且是数学教育家。在看到当下在教科书和学校的课程中，都将“数学”看作一系列毫无意义的、充满技巧性的程序后，很是生气，认为数学这样一门基础性的、有思想的、富于激情的、崇高的学科受到了玷污。我想克莱因写这本书的动机，大概和鲁迅的“我是有写一点东西的必要了”类似。 透过本书，我了解到古希腊数学的发展，滋生了许多以数学为信仰的哲学家。而数学之所以能繁荣，是奴隶的存在，帮助这些中上层人士免去了动手“干脏活”的必要。这样一来，他们便能腾出空间和时间来思索宇宙的奥秘，演绎归纳出抽象的真理。 古希腊人特别偏爱抽象概念，认为抽象概念是永恒的、理想的和完美的，而物质实体却是短暂的、不完善的和易腐朽的。这样的结果也导致了数学和应用的严重隔离，谁叫这些中上层人士这么傲娇，不愿意去想那些下层奴隶们干的脏活呢？ 古希腊人最辉煌的成就当属欧几里得的《几何原本》了，这也几乎成了全世界初高中都要学习的几何知识。欧几里得从直观的公理出发，推导出了上百条成立的定理。这些大量深奥的演绎结果，使得希腊人和以后的文明了解到了理性的力量，从而增强了他们利用这种才能获得成功的信心。 到了古罗马，数学就基本停滞发展了，原因是古罗马人太讲究实用主义了，对这些抽象、“无用”的数学不屑一顾。这也导致到了后期的中世纪，数学已经失去光辉，烛火即将熄灭。不过，上帝还是给大地带来了火神，文艺复兴之火，将数学重新点燃，并且一发而不可收。 如此，数学在建筑、绘画、天体、物理、文学、音乐等范畴中蓬勃发展，这也让世人惊叹数学的魅力如此强大，数学简直就是上帝把玩的艺术！笛卡尔对周围的怀疑引发了他深邃的思考，方法论的出现，打开了知晓自然奥秘的一扇门，坐标系这把钥匙太厉害了，自然得以有序稳定地展现在世人眼前，供人分析。 伽利略也是一个怀疑心极强的科学家，不过他采取了另一条了解自然奥秘的门路，那就是实验，这也导致了近代物理的开端。牛顿基于对物理运动实验的观察，悟出了微积分，莱布尼茨基于对数学的纯粹思考，也悟出了微积分，但无穷小量这个疑难又使人怀疑微积分的正确性，尽管一切和实验符合。还好，伟大的数学家柯西后来证明了微积分的正确性，消除了无穷小量带来的恐惧。 牛顿性格尽管古怪得很，但不得不说对后世影响巨大，物理、数学、哲学、宗教、甚至是美学、文学，一切的一切都拜倒在理性面前，当然，这也引起了一些诗人的不满，文理毕竟有异，但艺理却是相通，第十九章《G大调的正弦函数》就道出了艺术和数理的异曲同工之妙。 以前对音乐犯迷糊，不知道为什么好听，自己也思索不出所以然。在高中教材的知识插曲里知道，是数学帮的忙。直到看到第十九章，才明白正弦函数诞生的必要性，才明白“和谐”意味着周期的整数倍，也才更明白大学的课程《信号与系统》里信号的含义。音乐和数学如此挂钩，难怪巴赫会运用数学理论来创作管风琴曲了。 以上的数学发展都是精准的，确定的，有一个必然的结果。无奈，上帝爱开玩笑，让两个赌徒玩起了赌博游戏，由此引出了概率论的诞生，而这门学科，却充满了模糊性和不确定性。但是它的用途却很广泛，近代的量子力学就建立在它的基础上。概率论先生的壮大，让决定论先生懊恼不已，在哲学上，也引起了人们对自由意志的讨论。 康托尔引出了集合论，提出了超限数概念，成功地解决了历史遗留的无穷悖论问题。透过此壮举，我们可以发现，精确的思想是如何应用于含糊不清、最不可捉摸的直觉阴影中的，并解决了数学暴露的问题，增加了数学结构的强度和高度。 请注意，关于几何，以上谈论的都是欧几里得式几何，建立在他提出的公理上。例如，公理五：过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行。这些类似的公理直观上看起来无比正确，可是谁又能证明直观是准确无误的呢？又是怀疑分子作怪，非欧几何诞生了，黎曼甚至进一步怀疑欧式公理，引出了黎曼几何。黎曼几何，帮助爱因斯坦很好地完善了他的相对论，这样看来，我们的直观数学世界，看起来并不那么可靠。 由于本书结稿于1953年，所以相对论之后的数学发展就没有再讲下去了，想了解以后的数学历史可以参考同系列读物《后现代思想的数学根源》。最后，作者对数学的方法和艺术作了总结。尽管逻辑在数学中极其重要，但是我们不能忽略潜在定理最有用、最有价值的来源——天才的想象、直觉和洞察力。这种知识的获得，并非靠逻辑推理，而是依靠一刹那间的灵感和顿悟。 “数学家和音乐家基本上是受一种神圣的灵感所驱动，这种灵感使得他们能够在打下基石之前就能洞悉大厦的全貌......音乐和数学一样，它们都可以脱离‘实用’的存在。“ 附上主编汪宇的寄语： 既然陷入迷茫，重新审视走过的路甚或回到起点，或许也是一个办法。是否有可能，通过重新审视数学的起源和反正，重新厘清对数学本质的认识，把数学当做人类的一种基本文化活动？当我们开始把数学当做人类的本原性的哲学，把数学当做一种语言、一种思维方式，把数学当做科学精神的本质体现，那么，我们应该能够触摸到数学的灵魂。