对思想和方法的基本研究

No.body
2012-11-02 看过
我觉得副标题非常的贴切。
初等数学的脉络讲解的非常清晰,对解决问题的思想方法分析的简洁、深刻。我以为能把事情用简单的方式叙述出来都是要么非常花费功夫,要么就是领域中的大师——正如《Programming Pearls》和《 The C Programming Language》,薄薄一本书,值得翻来覆去的放在枕边读。


我简要列举几例书中的有特点的地方。
P87:数的连续统——不论是作为理所当然的事来接受也好,还是只有作了批判性的检查之后才接受也好——从17世纪以来成了数学,特别是解析几何和微积分的基础。
这段话不仅是对数学发展史有了宏观的一个印象,而且本质上说明了这些精确定义的意义,和其他数学分支的逻辑关系。
P103:希尔伯特关于数学的形式化结构的理论,本质上是基于直观方法的。即使在最纯粹的形式推导、逻辑推理或公理化方面,构造性直观总是以这种或那种方式,或明或暗地作为最活跃的因素在数学中起着作用。
这是一个数学家的深刻体会,在多年经验和广泛涉猎的基础上的总结。可能作为初学者或者不是专业研究数学的人来说,这段话并不是多么重要,但是到了一定程度,必然对于柯朗的感叹会心有戚戚。即使对于初学者,这样的感叹也对于其数学思想的形成,有着良好的指引性作用。
P135:直到19世纪初,意大利的Rnffini(1762-1822)和挪威的天才Abel(1802-1829)(作者可能用的伟大一词较多,数学史上星辉闪闪是应该被称道的,但是作者极少用天才一词,一个天才表达了柯朗对Abel的无限惋惜。当我读《量子物理史话》的时候,再回头看数学上的Abel,年仅27岁的天才,深同此感。)才表明了一个在当时很革命的想法,他们证明了不可能利用根式的方法解一般n次代数方程。人们必须理解清楚,问题并不是任意的n次代数方程是否有根。这个事实在1799年首先为高斯在他的博士论文中所证明。所以关于一个方程的根的存在性问题是无可怀疑的,尤其因为这些根的值能用适当的办法以任意精度计算出来。方程的数值解法的技巧当然是十分重要的,而且有了很高的发展。但是,Abel和Ruffini所说的问题完全是另一个问题:只用有理运算和根式运算是否能够求解?由于要求彻底搞清这个问题,促成了Ruffini、Abel和Galois开创的近世代数和群论的重大发展。
书中,作者对于证明方法的思想进行了严密的论述,而论述之后的这个总结除了让人印象深刻之外,对于思想方法作了回顾,又提及了部分历史以及数学的发展,作者对于数学的宏观把握和感觉对于读者来说是非常有益处的。
P197:首先,我们看到,在综合几何中,即使是“普通”的点和直线这样一些基本概念,在数学上也是没有给出定义的。在初等几何课本中,关于这些概念,经常能找到所谓定义只是启发式的描述而已。对于普通的几何元素,我们的直觉使我们很容易感到他们的“存在”。但在集合中——作为一个数学体系来考虑——我们实际所需要的只是某些正确的规则。借助于他们,我们能运用这些概念,…………只要能以一种清晰而不矛盾的方式阐述“无穷远点”的数学性质,即它们与“普通”点的关系以及它们彼此之间的关系,则这个新的实体在数学上就有存的意义了。…………我们现在指的不是物理的点、直线,而是几何上抽象的、概念化的点与直线。几何的点和直线有着本质上比任何物理对象更为简单的性质,而且这样的简化是把几何发展成为一个演绎科学的根本条件。
P206:这样一种从强调几何直观中到强调几何的分析方面的转变,为简单而又严格地处理射影几何中的无穷远点开辟了一条道路,而且对更深刻地理解整个这门学科是必可缺少的。
P225:用通常的话来说,公理体系的观点可以表述如下:在一个演绎系统中,证明一个定理就是表明这个定理是某些先前业已证明过的命题的必然逻辑结果;而这些命题的证明又要利用另一些已证明的命题,这样一直逆推上去。所以数学证明的过程是一个无限逆推的不可能完成的任务,除非在某一点停下来。
P243:当黎曼作为一个学生来到哥廷根时,他发现这个大学城对这种新奇的几何思想有强烈的兴趣(他其实是去学习神学和哲学的)。他理科认识到,这是理解复变量解析函数最深刻的性质的关键。黎曼的函数理论极大地促进了拓扑学后来的发展,而且,在黎曼的理论中,拓扑的概念则是最基本的东西。
P182:从这个观点出发,把它分为“综合”的和“解析”的两种方法。前一个是经典的欧几里德公理方法,其内容是建立在纯粹几何的基础上,与代数以及数的连续统的观念无关,而且定理是借助逻辑推理从成为公理或共设的一组初始命题导出的。第二个方法是在引进数值坐标的基础上,应用代数的技巧。这个方法给数学科学带来了一个深刻的变化,其结果把几何、分析和代数统一成了一个有机的系统。
P205:在摄影结合的早期发展中,有这样一种强烈的倾向:把一切都建立在综合的和“纯几何”的基础上,而避免用数和代数方法。但是这种企图碰到了很大的困难,因为总有些地方看来是不可避免地需要某些代数陈述。直到十九世纪末才完全成功地建立起一个纯综合的摄影机和。但是代价比较高,因为这样一来把问题搞得相当复杂。而解析几何的方法在这方面却一直是比较成功的。在近代数学中,总的趋势是把一切都建立在数的概念的基础上。在集合中,由费马和笛卡尔开始的这种努力已经取得了决定性的胜利。解析几何,从仅仅是几何推理中的一种工具发展成这样一门学科:在这里,对运算及其结果的直观的几何解释不再是最终的、唯一的目标。几何主观更主要的是起着引导的作用,帮助启发和理解分析上的结果。几何的含义这种变化是在历史的进程中逐渐发现的,它大大地扩大了经典几何的范围,同时引起了几何和分析几乎是有机的结合。
P279:在莱布尼茨以及18世纪的许多数学家看来,(柯朗没有提及牛顿,大约是非常不喜欢他。而这是有原因的,也是合理的。我学的是物理,当然更对牛顿这个人吐槽多多了。)函数关系的概念多少是指存在着表示这些关系的正确性质的数学式子。对于数学及物理上的需要来说,这种观念已证明是太狭窄了。经过了一个漫长的时期,函数概念以及和它们相关的极限感念才得到以明确和一般化。
P445:但是,放弃这种愿望,而宁可在极限过程中考察它们在科学上唯一适当的定义,这通常是清楚前进中的障碍的一种成熟的态度,而在17世纪还不具备能够容纳这种哲学上的激进主义的明智的传统。
P496:欧拉的形式主义的方法中最令人赞叹的结果之一,是在复数范围内正弦和余弦函数与指数函数之间的紧密联系。应当预先指出,欧拉的“证明”以及我们随后的讨论,严格来说都是没有意义的;他是典型的18世纪的形式处理方法。

此外作者也不忘揶揄一些别的如P299:遗憾的是某些课本的作者故弄玄虚,它们不作充费的准备,而只是把这个定义直接向读者列出,好像作些解释就有损于数学家的身份似的。


以上摘录大约表明了此书的特点。
大师的作品读来令人失望的不多。这本50年前的书的重印,是对经典的致敬吧。柯朗最好的书除了这本,还有一个《数学物理方法》,他当年应该是教这门课程的?国内的教科书大多得益于这本书。
书中没有大量的演算,也没有大量的定理公理,但是基础数学的几何、代数、分析都涉及到,讲解的精炼深刻,尤其注意问题的思想和发展以及影响。这使得读者能够对基础数学有一个全面的看待角度。
书中也有大量的有关哲学方面的论述。数学,从哲学上来看,是形而上学的,分析问题的方法和思想是先验的。作者很少对历史上的数学家进行评价,转而只表述出某一个领域某一项创举的价值,这是一个特点。


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