Strongart:数学基础的三大流派之我见

Strongart
2011-06-09 看过
    最近我在读保罗·贝纳塞拉夫与希拉里·普特南编的一本数学哲学的论文集,其中第一部分主要讨论数学基础问题。在这个问题上,数学家们大致可以分为三大阵营,以布劳威尔为代表的直觉主义、以罗素为代表的逻辑主义与以希尔伯特为代表的形式主义这三大流派,下面就简单谈一下自己对这三个流派的看法。

    直觉主义从名称上看似乎很不靠谱,好像数学基础只能用直觉来检验,但实际上它却是最真实的。尽管很多数学家与哲学家都不愿意承认这一点,但直觉在数学研究中的作用无疑是最关键的,所谓的逻辑理由只是后来添加的支撑物而已。然而,直觉主义者对直觉还是有所拷问的,他们要求把作为基础的直觉保持在最低限度,结果不幸矫枉过正,使得直觉主义成了对数学最为严厉的一个学派。他们的口号是“存在即被构造”,拒绝使用形式逻辑中的排中律,拒绝实无穷与选择公理。尽管这在元数学理论方面是有价值的,可以提醒数学家时刻反思现存的理论基础,但同时却带来了沉重的技术负担,严重拖累了数学的发展,并且使得数学的应用几乎成为不可能,因此现在很少有人依然在强调如此苛刻的直觉主义标准。

    逻辑主义干脆把数学归结为逻辑,这样划归我总觉得过于武断,只能说数学与逻辑有某种连续的关系。记得罗素曾经提到过,你无法区分哪里是数学,哪里是哲学,并把它作为数学划归逻辑的根据,可这个理由是完全站不住脚的,正如你无法找到从哪点开始小孩变成了大人,但是总不能因此就把大人完全归结为小孩啊!逻辑主义的贡献有点像弗洛伊德发现了无意识,使得人们的思想可以倒过来往前追溯,但要把所有的东西都完全归结到源头上,这样的还原论无疑的浅陋的。其实,逻辑主义者使用的主要还是集合论,真要划归也只能说划归为集合,而罗素在集合论中发现了悖论,对集合论的贡献自然是无可争议的。

    形式主义看上去似乎要软弱一些,只是在现有的数学结构中,抽出一个共有的形式进行研究,类似的公理化方法在现代数学中已经是司空见惯的了。当然,形式主义还要求满足最基本的无矛盾性与一致性,尽管有时对这些性质的验证比较麻烦,但当时的数学家对它大都还是比较有信心的。可遗憾的是,尽管这个要求已经非常软弱了,却依然是出现了哥德尔不完全性定理,简单的说就是包含算术系统的数学结构中必有不可判定的命题。从某种意义上来说,不完全性定理也是一件好事情,说明这样的形式化方法只能在局部作用,包含算术系统的数学结构实际上是比较复杂的,这有点现代几何学中的纤维丛,由局部平凡化并不能导出整体的平凡化。

    尽管这三大主义都没能把数学的基础问题彻底解决,但也都在一定程度上更新了人们对数学的认识。我想,正如数学并不存在发展的尽头一样,其本身也不存在着一个彻底牢固的基础,只有人类数学家的不断推进与反思才能够保证数学的真理性,让我们一起来贡献自己的一份力量吧!
15 有用
12 没用
数学哲学 数学哲学 8.6分

查看更多豆瓣高分好书

评论 5条

查看全部5条回复·打开App 添加回应

数学哲学的更多书评

推荐数学哲学的豆列

了解更多图书信息

豆瓣
免费下载 iOS / Android 版客户端