数学史家的难题

蓬山远
2011-05-20 看过
本书出版于七十年代,时间上只写到20世纪30年代的哥德尔定理为止。毕竟是一本面向专业人士的数学史,作者本书着重谈论的是数学分支发展的逻辑动力、内在理路、传承关系,哲学意义所占的比重不大。若要看数学发展的哲学意涵,应当去读作为科普书籍的《数学:确定性的终结》。看到一篇书评,说了一番什么混沌与分形、P对NP问题给他留下了深刻的印象。但是这书压根没讲这些内容,年代完全搞错了(成书前后才有的P对NP问题),真是令人错愕——书都没看居然还来写书评。兹撰本文以正视听。

回首二十世纪,在“思想”方面数学取得了累累硕果:流形的概念乃至其后的微分拓扑,几何向高维的突进,动力系统的大发展,测度论作为概率论的公理化基础,随机过程及随机微分方程,统计学开枝散叶,理论物理对基础数学的再发现,计算复杂性理论,由计算机而兴起的组合数学、计算数学,等等等等。很多分支在成书的七十年代已经相当成熟了(微分拓扑、随机过程、动力系统、统计学),若能继续撰写二十世纪的内容,定能更加激动人心。遗憾的是作者就以数学的逻辑基础作结,没有再接着写下去了。
不得不说,对于“古今数学思想”来说,二十世纪这些重要的崭露头角的新星没有被包含进去,实在是失去了太多的光辉。在《数学:确定性的终结》中,M.Kline集中透露了他的数学哲学观。他对当代的数学研究是很不以为然的,似乎认为在数学的逻辑基础争论之后,数学工作者就全都陷入到集体无意识之中,不是数学目标为何,只管盲目推进。各个专业领域各自不再交流沟通,分支越来越多,共同语言越来越少,在国际大会上两个分支的人都恐怕相互之间听不懂在说些什么。Kline认为,数学的真理性、数学的价值在于用它来解释自然,是外于人的存在的,绝不是人的逻辑框架对数学赋予了价值。逻辑可以为数学提供严密化的工具,但逻辑不等同与数学,数学是有血有肉的,不可能用形式化的框架来套住它。数学可以不严密(微积分的发展),但不可以不阐释世界,不可以固步自封、闭门造车。
黎曼几何比欧氏几何更靠近真理吗?并不见得,真理没有绝对化,欧氏几何在适用的解释范围内就是真理。以这样的指导思想来开展数学研究,他心目中的数学应当不断地从自然科学、特别是物理学中汲取营养,数学家应当懂得其他学科的知识。过去,数学家的优势在于能将物理的问题数学模型化,进而加以发展。现在,数学家只守株待兔地等着别人把问题提好了再来解决,实在是丧失了主动权,丧失了数学的活力。于是只能干巴巴地搞一些与外人无法沟通的艰深理论,近亲繁殖。

那么,二十世纪这许多进展岂不是正符合Kline的心愿吗?概率论大显身手,动力系统进一步推动了古典力学,算子代数随量子力学而发展。这些显赫的进展,为什么不愿意接着写呢?
力不从心、跟不上数学的发展了吗?一团乱麻、分支太多、把握不住主流的走势了吗?年代断层、无法与前代相衔接了吗?
把眼光往前放两个世纪,数学的脉络总是这么清晰。数论绵延不断,由方程理论而至抽象代数系统的发祥,常微分方程、偏微分方程齐头并进,微积分大举进军复变量,几何又有了什么新进展、射影几何又一枝独秀,层次鲜明,方向突出。这样的脉络真不舍得让人抛弃。但不放弃传统分支的叙述结构,那就只能是毫无头绪:实分析、复分析、调和分析、泛函分析、动力系统、常微分方程定性理论、偏微分方程、代数数论、解析数论、超越数论、抽象群论、李群李代数、范畴论、代数几何、微分几何、同调论、微分拓扑。把各个分支全搞清楚的人已经不太可能存在了。这样的数学史任谁也写不出个眉目来(现在二十世纪数学史的著作基本上没有吧)。
概率论、计算数学、计算复杂性理论这些自然是在二十世纪大展了一番身手。但它们与传统基础数学的功绩究竟应该怎么比较,怎么评价?谁才是当前数学的主流,谁才代表了历史发展的动向?如果以逻辑严格化、理论人为化作第一要素,那似乎还是传统数学更胜一筹;但如果以对社会发展贡献为首要评判标准,那似乎倒是新生数学为优了。到底谁更有道理一些呢?有人说,数学就应该延续希腊的理性传统,每一次数学的进展无不是人类理智的优胜。也有人说,数学应该以服务科学为第一要务,历史上重大的数学成果无不有着重要的应用价值。看来似乎又都有道理。要多写传统数学,则与Kline的价值观不符;要多写新生数学,则似乎数学有了一个断层。

纵然Kline有着自己明确的数学哲学观,也难以一己之力给出断然的回答,写出自己最理想的数学史。于是留给我们的只有最后一章的永恒之问——数学的基础究竟在哪里。
这确实是个难题。要想写作二十世纪的数学史,而且能与以前的数学史相衔接,应该怎么写?
二十世纪以来的数学价值判断,真是个难题。
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