素数分布有大美
在以黎曼假设为题材的三本科普书中,由数学家书写的《素数的音乐》和《素数之恋》明显要高于《黎曼博士的零点》。 素数(亦称质数)一直是数论(亦称算术)的中心,初等数论中算术基本定理说的是自然数的素因子分解,解析数论中的素数定理说的是素数密度的拟对数积分变化。对素数的研究贯穿了整个数论发展的历史,这条历史线索基本上承前启后地串联起了欧几里德、欧拉、高斯、狄利克雷、黎曼、哈代、李特伍德、塞尔伯格、陶哲轩等一代又一代第一流才智的数学家。素数的艰深使数学家对素数产生了某种意义上的迷信或曰形而上学,在素数定理还只是高斯的猜想时,数学家开玩笑说证明素数定理的人将会不朽,给出素数定理复分析证明的阿达马活了98岁而普桑活了96岁,给出素数定理初等证明(技巧性更强、比复分析证明难度更高)的塞尔伯格活了90岁而埃尔德什活了83岁。如今数学家又开玩笑说证明黎曼假设的人将会获得永生。 黎曼假设——这个比费马大定理和哥德巴赫猜想还要令数学家着迷的纯数学难题,是关于素数分布的最深刻的数学命题。鉴于已经有数千个所谓的“定理”都以预设Riemann Hypothesis为前提,人们宁愿称其为“黎曼假设”而非“黎曼猜想”。 Each note that one hears (the zeroes of the Riemann zeta function) corresponds to a hidden pattern in the primes. (The “music of the primes”.)——Terence Tao 黎曼假设代表着数学家尤其是柏拉图主义者对美的信仰,邦别林教授就是黎曼假设的信徒,他坚信黎曼假设正确无误只欠一个严格的数学证明。塞尔伯格对黎曼假设的态度从怀疑转为相信,也是因为黎曼假设的简洁和美。 黎曼假设似乎位于恰到好处的真理的理念世界的黄金分割点上,强于它的命题如Mertens猜想被否定,比它弱的命题比如素数定理则有了初等证明。黎曼假设似乎是拿捏得度的数学命题,加强点则过犹不及,削弱点则较之平凡。植根于纯数学的黎曼假设最终发现与量子力学竟然有不可思议的联系,Hugh Montgomery与Freeman Dyson的“数学撞物理”成为科学史上的一段佳话。 素数的离奇性状为其增添了神秘色彩,“整体上正则而局部近乎随机”的素数序列似乎是伪随机的极限形式,素数序列有可能蕴藏着关于世界大本大原的正确概率解释,上帝也许不在掷骰子,这个混沌世界的本来面目也许既非决定论的亦非绝对随机,而是在按素数的规律运行。黎曼zeta函数的每一个复零点都对应素数序列的一种分布模式。素数序列没有重复和雷同,却又蕴含无穷的模式。“数觉”(小平邦彦所谓的数学洞察力)无与伦比的黎曼凭直觉猜测所有的复零点都位于Re(z)=1/2的临界线上,而这[;\pi(x)=Li(x)+O(\sqrt{x} \log x);]就表明高斯用来拟合π(x)的对数积分函数Li(x)是素数密度的最佳逼近函数,其误差为不可改进的O(√x㏒x)。而对复零点间距的研究使复零点进一步具有了物理实在意义,黎曼博士的零点构成量子混沌的模型。看来黎曼假设已经触及万有之理之所在的新数学。 作者Marcus du Sautoy是一位天才的科学传播者,他也是职业数学家,还是牛津大学的数学教授,他的讲述兼备数学家与TalkShow主持人的魅力,别的不说,咬字就非常清晰,他在视频中说的英语是我觉得最容易听懂的英语,在这方面量子场论专家维尔切克与他类似。 以下是他的两段视频: 1. TED演讲,讲的是对称、群论 Symmetry, reality's riddle http://www.ted.com/talks/marcus_du_sautoy_symmetry_reality_s_riddle.html 2. MIT演讲,讲的是素数、黎曼假设 The Music of the Primes http://claymath.msri.org/duSautoy-MPEG4300Kbps.mp4