《数学大师》

jianili
2008-02-27 看过
历史与生活与数学是什么样子的?——这是想说的第一句话。
读完适合当枕头的《数学大师》是一项很大的工程,整个过程还掺和着南方罕见的冰冻雪灾的记忆。
这本书更多地是传达一些思想,一些并非让人望而生畏的数学思想;一些信息,一些能让我在北京外文书店看到奇奇怪怪英文原版数学书名时知道我与它们并非初次邂逅的信息;以及一些支离破碎却带给我美妙享受的经历,与一些让我进一步加深某方面印象或我以后应该欣赏某个理论/方法的微弱暗示。
作者是按他自己的标准来选取大师的,而原本我以为会有希尔伯特、拉马努金。全书34人中(伯努力家族按1人计算的话),我听过19个人的名字,这让我很庆幸了,尽管很多是高数及其他书籍里接触到的术语,即:阿基米德原理、费马大定理、帕斯卡定理、牛顿-莱布尼茨公式、伯努力曲线、欧拉/拉格朗日方程、哈密顿/拉普拉斯算子、庞加莱猜想、布尔代数、雅可比行列式、阿贝尔规范场、黎曼几何、傅立叶级数/定理、柯西不等式、笛卡儿坐标系,数学王子高斯就不用介绍了。
书中提及的某些数学(这里是一个抽象的词)会让我产生深深的绝望与恐惧,因为那些数学是扎根于现实问题中的;我对解决现实问题的思想或方法都有一种无比的敬畏,因为自己在这方面的无力与苍白。很多时候,我都觉得人类智慧的不可思议,特别感叹以前很多科技工作者能做出原创性非常强且异常有力的研究成果。我也时常会产生这样一种想法,同一学历的现代教育能使人达到的某门学科的顶峰比以前不知低了多少,尽管我们常常会以现代人全方位的素质来转移这种认知。
我愿意同大家一起分享某些绝妙的印记。
“神灵在分析的奇境中找到了一个卓越的出口,那是理念的预兆,其意义在存在与不存在之间,我们称之为负单位的虚平方根。”-1的平方根(i)绝对是一个强悍的想法,在我们眼里是习以为常的存在,但它的产生不知道是多大的跨越!引起我注意这个小东西是上学期看的一本书《探求万物之理——混沌、夸克与拉普拉斯妖》,里面强调没有复数,“量子理论的表述将难以想象”。按照TLG给我的解释是,“(复数)使描述空间的能力增强了,是量子理论中基本的数学工具,可以同时描述事物的两种属性(数学上的模和相位)。”我想其最主要的成功之处是i能够表示相位,这是一个很大的突破。
“当一个像印度的拉马努金那样的真正的数学家,从不知道什么地方突然冒出来的时候,就连分析专家们也都把他作为自天而降的天才向他欢呼:对于表面上无关的各种公式,他那几乎超自然的洞察力揭示了从一个领域向另一个领域的隐秘线索,这就为分析学者们提供了弄清这个线索的新任务。一个算法学家是一个‘形式主义者’,他因这些公式的美丽而热爱这些美丽的公式。”拉马努金,第一眼就深刻欣赏的天才型数学家。他对数学有种天生的洞察力,而且具有某些神秘的宗教主义色彩,以及强烈的美感。
黎曼几何是一个有意思的东西,相对欧氏几何来说是比较新鲜的。以前看到过一个这样的描述,“构建一个由以下三条线组成的三角形:其中一条线由北至南经过纽约,第二条由北至南经过洛杉矶,第三条则沿着赤道,赤道边的两个内角都是90度,所以这个三角形的内角和超过180度,超出的为位于北极的顶角的大小,也就是纽约与洛杉矶这两个城市之间的经度差。”一时接受不了,跟WXD讨论才知道:一个空间三角形,空间三角形内角和不为180度。关键在于黎曼几何下面距离的定义不同于欧氏几何,欧氏几何只是黎曼几何的一个特例。空间曲线的夹角是用它们切线的夹角定义的。三条曲线,准确地说这里的边是圆弧线,不过黎曼几何中的曲线可以更加一般,比如抛物线,椭圆弧,双曲线……这是一个很妙的体验。
微分方程这次特别引起了我的注意,记得第一次有深刻印象是看《我的阿拉丁神灯,在复旦》,里面有个男生是研究偏微分方程的,他写的那篇文章给了我某些有趣的信息。其实也只有在这次我才重视起微分方程的作用,因为《数学大师》给了我它威力巨大的暗示,这引起了我的好奇,WXD说很多实际的工程问题最终可以归结为微分方程,再利用初始状态信息和边界条件信息来获得更多我们未知而需要的信息。但是从工程实际抽象出微分方程是比较难的一个环节,我觉得这需要跨学科的知识,即娴熟的数学技能和工程问题涉及的某个学科的理论知识。
由微分方程我很快想到了数学建模,觉得数学建模是科研中很重要的一项技能。很多时候,并不是我们的专业素养不够,而是我们抽象出模型的能力不强。大多数的时候,数学家长于建模,而某专业的科学工作者擅长本领域的领会与拓深,他们之间的联结纽带并不总是牢靠而流畅的,更多时候他们是独立的个体,现在两者都精通者是很少的,尽管现代社会对这种素养的要求越来越明显,以我个人的观点,这方面能力出众者必能做出独创性研究成果。
“傅立叶定理不仅是现代分析学最美妙的结果之一,也可以说它为为解决现代物理学中几乎每一个难解的问题提供了一种不可缺少的工具。”上学期的《数字信号处理》上傅立叶变换/级数简直是处处充斥,DTFT、DFT、FFT、FT、DFS、FS......组合以下字母得前面缩写的中文含义:D-离散,T-时间,F-快速,倒数第二个出现的F-傅立叶,最后出现的T-变换,S-级数。
“我们不是要找出一个不知其是否存在的关系,而是必须问一问这样一个关系是否的确存在可能......”这句话暗示了一种解决问题的取向和思路,很多时候我们在没有证实关系的确存在时就一头扎进浩瀚而复杂的庞大问题中,或许这种我们一直苦苦追寻的关系并不存在;而当我们证实它真实存在时,或许其中包含了解决的思路。这是一种全新的理念,对于我来讲。
写这篇文章耗费的时间比较多,更多的时候是某些概念或思想拿捏得不是很准确,所以很多东西就不敢贸然写下。
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