~@2005.5
数的起源与演变曲折又漫长。起初，我们在混沌之中领悟出自然数，它们既直观又有趣，我们象研究图形一样去研究它们，它们还有用得很，加加减减，乘乘除除，几乎无所不能，我们准备用数去对应天下万物。然而√2的发现却坏了我们的计划，它不可度量，无法穷尽，难以理解，我们只好叫它无理数；它一点儿也不象原来的数那样简洁、整齐，相反，它古怪、丑陋，我们甚至羞于说出它。随着要计算的东西越来越多，我们缩写运算语言，又用种种符号代替数字来做运算，不想又得出好多前所未见的怪东西。负数、虚数，之前我们不曾预料，现在它们却迫使我们做出解释。我们是怎么做的呢？我们并没有理会，低着头向前赶。毕竟，有用就行，管它有什么古怪呢。自然数，无理数，负数，虚数，我们就是这样，一路摸索，磕磕绊绊地走过来的。
后来，计算越来越复杂，于是我们发明了微积分。我们折曲为直，以无限之算法来计算有限。这中间虽有些什么让人不安，但这算法比之从前，更是威力巨大，我们甚至可以用它去改造自然。这令我们信心大增，一路向前。我们的思想游历万物，数学是我们的马，它虽然有时脾气古怪，不易驯服，有时又能把我们带至绝美境地，令我们惊喜不已。
没过多久，这无限算法中的种种谬误、矛盾之处开始显现出来。我们被自己弄出来的极限、收敛、无限小给弄糊涂了，在自我批评与反省之中，我们分析又分析，审查又审查，我们创造出实数理论，把它作为数学的根基。这理论终于消除了我们的不安，把数学变成了一个自圆其说的系统。但不安之后，困惑来了。且让我们细细考察一下：微积分的方法可以使一个变量以无限小的差别逼近一个常量，而实数理论直接宣称，这样便可以说这变量等于这一常量，这里面难道没有什么让人困惑吗？我们还可以回想到用数学归纳法证明命题的时候，我们也不过是证明了，对于一个特定的自然数成立的命题，对于它的后继数命题也成立，但我们为什么能因此断定，这命题对于所有的自然数都成立？难道我们实际上完成了所有的推导吗，没有，我们只不过在想象中完成了它。这是怎么一回事？我们的感觉只不过有限的，我们何以心安理得地去思考无限呢？作为数学的基础，自然数的离散本性与我们所感受的世界的连续性之间有一条鸿沟，我们用无限重复、无限小等等这些“无限”的概念跨越了它，可是，不知道为什么，“奇就奇在这竟能奏效”。
数学来源于直觉，我们觉察到了实在中的结构，就把它抽取出来，命名为数学概念。而后来，这些概念被我们一再扩展，一再抽象，早已不是最初的模样，它以一种自身的必然性向前发展，把实在远远地甩在了后面。的确，数学创造了一种新的实在，这实在具有恢宏的结构、一种冷峻的美。但是，若仅仅如此，数学也就成为了一样艺术品，只会在少数人之间流传。数学之所以对我们产生深刻的影响，还在于它的极其广泛的实用性。令我们困惑的是，数学作为心灵的创造物，何以会对客观世界如此有效？我们是不是可以猜测，世界是以数学的方式构造的；或者，数学是所有可能的结构的集合，而世界只是其中一种？
《数 科学的语言》
[美]T 丹齐克 著，苏仲湘 译
商务印书馆，1985年4月
后来，计算越来越复杂，于是我们发明了微积分。我们折曲为直，以无限之算法来计算有限。这中间虽有些什么让人不安，但这算法比之从前，更是威力巨大，我们甚至可以用它去改造自然。这令我们信心大增，一路向前。我们的思想游历万物，数学是我们的马，它虽然有时脾气古怪，不易驯服，有时又能把我们带至绝美境地，令我们惊喜不已。
没过多久，这无限算法中的种种谬误、矛盾之处开始显现出来。我们被自己弄出来的极限、收敛、无限小给弄糊涂了，在自我批评与反省之中，我们分析又分析，审查又审查，我们创造出实数理论，把它作为数学的根基。这理论终于消除了我们的不安，把数学变成了一个自圆其说的系统。但不安之后，困惑来了。且让我们细细考察一下：微积分的方法可以使一个变量以无限小的差别逼近一个常量，而实数理论直接宣称，这样便可以说这变量等于这一常量，这里面难道没有什么让人困惑吗？我们还可以回想到用数学归纳法证明命题的时候，我们也不过是证明了，对于一个特定的自然数成立的命题，对于它的后继数命题也成立，但我们为什么能因此断定，这命题对于所有的自然数都成立？难道我们实际上完成了所有的推导吗，没有，我们只不过在想象中完成了它。这是怎么一回事？我们的感觉只不过有限的，我们何以心安理得地去思考无限呢？作为数学的基础，自然数的离散本性与我们所感受的世界的连续性之间有一条鸿沟，我们用无限重复、无限小等等这些“无限”的概念跨越了它，可是，不知道为什么，“奇就奇在这竟能奏效”。
数学来源于直觉，我们觉察到了实在中的结构，就把它抽取出来，命名为数学概念。而后来，这些概念被我们一再扩展，一再抽象，早已不是最初的模样，它以一种自身的必然性向前发展，把实在远远地甩在了后面。的确，数学创造了一种新的实在，这实在具有恢宏的结构、一种冷峻的美。但是，若仅仅如此，数学也就成为了一样艺术品，只会在少数人之间流传。数学之所以对我们产生深刻的影响，还在于它的极其广泛的实用性。令我们困惑的是，数学作为心灵的创造物，何以会对客观世界如此有效？我们是不是可以猜测，世界是以数学的方式构造的；或者，数学是所有可能的结构的集合，而世界只是其中一种？
《数 科学的语言》
[美]T 丹齐克 著，苏仲湘 译
商务印书馆，1985年4月
有关键情节透露
