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一只特特呦
2019-06-20 看过

豆瓣排版不是很熟悉,更新完成后会上传word排版的pdf。

论数学问题

0.1 等边三角形的中心在哪儿?

就是正中间啦~仅当三角形是正三角形的时候,重心、垂心、内心、外心四心合一心,称做正三角形的中心。

0.2 这四个小三角形都是相同的吗?

是的呀。

第一部分 大小和形状

1.1 用正多边形来设计对称的马赛克(这里mosaic也可以翻译成镶嵌)图案,都有哪些不同的方案,使得平面恰好被正多边形覆盖?

~~~~~~~~~~

https://www2.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/archive.html

拓展一下:能平铺平面,却不能周期性地平铺平面的构造。

http://www.matrix67.com/blog/archives/3840

1.2 正n边形的每个内角的度数是多少?

n边形可分为n-2个三角形, 。

1.3 你能够算出正n角星的每个角的度数吗?

n角星的种类不唯一,如七角星有两种,其尖角和分别为180°和540°。

感兴趣的可以进一步阅读:https://wenku.baidu.com/view/fc6f71bd26fff705cc170abc.html

1.4 从正多边形的一个顶点向其余不相邻的点画对角线,所形成的各个角是否总是相等?

是的,等弧所对的圆周角相等。

1.5 如果所有的角相加之和大于一个周角,又会有什么情况发生?

将出现“褶皱”,有峰和谷无法放平。

1.6 所有的对称多面体有哪些?

古希腊人还研究了“半正多面体”(semiregular polyhedron),即由两种或多种不同的正多边形拼成的,且所有顶点完全相同的多面体。除了棱柱和反棱柱以外,开普勒在《世界的和谐》(Harmonices Mundi)一书中列出了 13 种 Archimedean 体,画出了每个 Archimedean 体的样子,给它们起了不同的名字,并且证明了, Archimedean 体一共就只有这 13 种。

来自:http://www.matrix67.com/blog/archives/6161

1.7 正多面体有哪五种?

正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体。

2.1 如果两个三角形的各个角都相等,那么他们必然相似吗?如果是四边形,情况又会是怎样?

必须的;那不一定了,如图:绿色近似直角梯形,显然和蓝色不相似。

2.2 请证明,若将一个直角三角形切分成两个小直角三角形,则这两个小直角三角形必然和原来的直角三角形相似。

∠ACD=90°-∠CAD=∠BAD。

2.3 菱形的两组对边始终平行吗?它的两条对角线是否互相垂直?

始终平行;是垂直的。

2.4

必然相等;由SSS判定 ,∠DAB=∠ADC=90°。

3.1

是的呀。

3.2

PN=BD/2=QM,PQ=AC/2=MN,PN∥BD∥QM,PQ∥AC∥MN。如图可以看出平行四边形面积是原四边形的一半。

关于第二个问题,结论是正确的,证明过程比较复杂,可以参考哈尔滨工业大学出版社刘培杰工作室的《世界著名平面几何经典著作钩沉――几何作图专题卷(上)》(应该是这本,记不太清了。)

任何一个多角形都能够切开成一定数目的三角形。任何一个三角形都和某一些平行四边形同组成。同组成指其中一个多角形,能够切成几块,用它们能拼成第二个多角形。任何一个平行四边形都能改变成一个正方形。过两个不同的多角形,都能分别到改变成第三个多角形,那么第一个多角形也能够改变成第二个多角形。任何一个三角形都能改变成和他等积的正方形。任何两个正方形都能改变成一个正方形。这是多角形可以改变成正方形的,全部简单证明。逆向操作即可将正方形改变成另一个多角形。

3.3

盒子体积为共点三条棱乘积;等比例缩放a呗,体积变为a3倍。

4.1

(2a+1)*(2b+1)=2(2ab+a+b)+1

4.2

2a*2b=4ab

4.3

是;是。证明方法类似。

4.4

为了方便,下面求半径

5.1

3,4,5 、5,12,13等等。详见“勾股数”。

5.2

l2=a2+b2+c2;由勾股定理可得。

7.1

,a为边长。

7.2

正六:对角线长 面积

正八:对角线长 面积

正十二:对角线长 面积

7.3

由1.4可知小锐角均相等;相似+等边可知全等。

7.4

边长是大五边形的 ,面积是 倍。

7.5

如图相似即可。

8.1

~~~~~

9.1 正五边形的面积是多少?

10.1

∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠2+∠3+∠4=180°从而∠2+∠3=90°。

10.2

如上图,它们都是圆心角的一半。

11.1

两个:面积 周长

三个:面积 周长

11.2

12.1

用折线段穷竭法。

12.2

πab,其中a、b分别为半长轴长和半短轴长。

12.3

1/6。

12.4

大锥减小锥,结核相似推出abh的关系。V=2(a2+b2+ab)h/3

12.5

和0.1一样,这让我怎么说呢,正中间呗。

13.1

并不能,因为我不是相当内行的代数学家。

13.2

类似广义圆柱;可以呀,如下图。

13.3

看本页下面的两个柱体;类似的可以取截直线的弦长;在穷竭的过程中并没有达到接近的目的(这就是网上广为流传的证明 的方法,还有证明 )。

13.4

1/3,用正方体减去4个体积为1/6的三棱锥;正四 ,正六 ,正八 ,正十二 ,正二十 ;其它的太多了再说吧。

13.5

这个东西叫牟合方盖,是中国古代用于近似计算球体体积时用的。我尽力画了可是效果不好,还是找了张网图。体积为16r3/3;见下右图。

14.1

π/6,超过了一半;由体积公式即可得出。

14.2

公式写一下就知道了;球缺指的是球体被平面截出的两个部分,类似的概念还有球冠(球缺的曲面部分)还有球带(两个平面夹住的球面部分)。(Ps:这些概念在老版的高中教材中是有的,后来被删掉了,怪可惜的。)

S=2πrh+S圆 V=(π/3)(3R-H)*H2

15.1

圆沿着轴线运动,矩形沿着一条边旋转。

15.2

二倍的路径长加上二倍的树枝长。

16.1

形心

第二部分 时间和空间

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