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【英子树读知识共享】 Ⅱ.案例S(定位之用) 儒勒·凡尔纳的《地心游记》并不是讲地心的,他讲的是一个不可思议的奇妙旅程:抽象的思考是怎样进行的,以及这类思考能帮助我们做什么。当我们开始产生一个有趣的想法时,这本书可以帮助我们找到这个想法的本质。数学家也无法解释关于无穷的每一件事——但是它可以帮助我们搞清楚,借助无穷这个概念,我们可以做什么,不可以做什么。 Ⅲ.金句P(定义之器) 无穷不是自然数,不是整数,不是有理数,也不是实数。 无穷是一个基数,也是一个序数。 基数和序数并不必须遵守前面的数字类型所遵守的全部规则,这就是为什么在这两个数据类型里,无穷是可能的。 学习的一个重要的方面就是能够提出新的问题,这比陈述新的事实更加重要。 即使我们一直静静地坐在我们大而有限的世界里,无穷还是会持续到永远,而且无穷的等级也会持续增加到永远,也许我们已经不再惊讶于一些无穷的事物能够装载在一些有限的事物里。涉及无穷的事物,似乎一切都是可能的,数学世界也装在我们的大脑里,但它比宇宙还要大。 大海波涛汹涌,但是我一直提醒自己顺应船的起起伏伏而不是试图抵抗它。在我们已经驶离港口很久之后,船上的大部分其他人都难受得不得不躺下,只有我和少数几个人能够真正欣赏座头鲸令人难以置信的力量,威严和优雅,在数学中,我们也能够获得同样的感受,数学是我们努力寻找的另外一种与众不同的力量,威严和优雅,但是遗憾的是,太多人在旅途中晕船了。
Ⅳ.模型M(定向之术) 无论那些自作聪明的人用多大的a和b来挑战我们,我们都知道如何在它们之间找到一个无理数,这就是现代微积分高度缜密性背后的主要支撑,使其无论处理无穷大的事物还是处理无穷小的事物都能够适用。 无穷大实际上意味着“大到我们不会被自作聪明的人战胜”,同样的,无穷小实际上意味着“小到我们不会被自作聪明的人难住”。 到目前为止,我们每次发现一种新的数字类型都是以要求获得一种新的能力为前提的,比如减法 除法和填充空隙,每次我们要求获得一种新的能力的时候,我们都能发现一个新的世界,找到一种新的建造数学大厦的材料,这就像你现在想要找到一种新的烹饪配方,所以你认为自己需要一个有更多新食材的厨房。 奇怪的是,我们真正想要的是这样一个世界,在其中,我们能做的事情更少而非更多,因为我们想要找到的是一个等式两边同时减去一个数后等式不成立的世界。现在,我们在数字方面也已经到了这样的一个阶段:我们需要把所有的东西都扔出去,然后重新开始。 Ⅴ.清单L(定性之法)
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