混沌 8.5分
读书笔记 混沌
庄挺

20180401《混沌——开创新科学》 :作者詹姆斯·格雷克(James·Gleick)原是《纽约时报》科学版记者。他1987年出版了畅销书《混沌——开创新科学》而一举成名,随即成为专业的科普作家。《混沌》和他的另外两本畅销书《费曼传》和《牛顿传》都是严肃的科普作品,而非供茶余饭后轻松消遣的读物。书中的注释、引文和索引占了总篇幅的十分之一以上,在《牛顿传》里更是几乎接近三分之一。这是一位科普作家应具备的认真作风。

20180402《混沌——开创新科学》:《混沌》是一部几乎同步紧跟科学发展的大型报告文学。混沌现象的研究是20世纪非线性科学进展的重要方面,它在20世纪70年代中期兴起,而在20世纪80年代达到高潮。这本书对于理解混沌现象所涉及的一些基本概念,以及混沌研究对当代科学发展的影响,都有相当好的描写。

庄晓云:

20180403《混沌——开创新科学》:气似质具而未相离谓之混沌——《易乾凿度》。混沌,这个在中外文化中渊流悠久的词儿,正在成为具有严格定义的科学概念,成为一门新科学的名字,它正在促使整个现代知识体系成为新科学。混沌研究的进展是非线性科学最重要的成就之一。它正在消除对于统一的自然界的决定论和概率论两大对立描述体系间的鸿沟,使复杂系统的理论开始建立在“有限性”这个更符合客观实际的基础之上。

20180404《混沌——开创新科学》:混沌开始之处,经典科学就终止了。因为自从世界上有物理学家们探索自然规律以来,人们就特别忽略了无序,而它存在于大气中、海洋湍流中、野生动物种群数的涨落中、以及心脏和大脑的振动中。自然界的不规则方面、不连续性和不稳定性方面,一直是科学的难题。混沌打破了各门学科的界限。由于它是关于系统的整体性质的科学,它把思考者们从相距甚远的各个领域带到了一起。跨越学科界限,是混沌研究的重要特点。

20180405《混沌——开创新科学》:在长期天气预报的研究工作中,一次偶然的计算机行为失常,气象学家洛仑兹发现在计算过程中手工输入数值千分之一的误差导致计算输出结果的大相径庭,他由此认为长期天气预报注定失败,原因就在于对初始条件的敏感依赖性。洛仑兹看到在天气的不愿意自我重复和预报员的无能为力之间必定有某种联系,即非周期性与不可预言性之间的联系。

20180406《混沌——开创新科学》:动力系统中,输入的细微差异可能很快成为输出的巨大差别——这种现象被称为“对初始条件的敏感依赖性”。例如在气象中,这就成了人们半开玩笑说的“蝴蝶效应”:今天在北京有一只蝴蝶扇动空气,可能改变下个月在纽约的风暴。

蝴蝶效应不是偶然,而是必然。有一首民谣:“钉子缺,蹄铁卸; 蹄铁卸,战马蹶;战马蹶,骑士绝;骑士绝,战事折;战事折,亡国灭”,反映的正是蝴蝶效应概念。在科学中,如同在生活里,人们知道一串事件往往具有一个临界点,那里小小的变化也会被放大。然而,混沌却意味着这种临界点比比皆是。它们无孔不入,无时不在。在天气这样非周期性的系统中,对初始条件的敏感依赖乃是各种大小尺度的运动相互纠缠所不能逃避的后果。

20180407《混沌——开创新科学》:洛仑兹推得,一切混沌系统都具有这种敏感地依赖于初始条件的内在变化规律,其长期行为是不可预测的。微小的扰动会引起巨大的变化,就是所谓“差之毫厘谬以千里”的科学表述,小小的多米诺骨牌游戏能说明这一点。洛仑兹指出:“在任何系统中,对初始条件的敏感的依赖性所导致的直接结果之一,是不能做准确预报,而对充分遥远的未来,甚至连粗略预报都不可能。”

20180408《混沌——开创新科学》:如果把大自然看作是由非线性支配的一个巨大混沌动力学系统,那么大自然外在表现的过程,就是一个随时间演变的轨迹,并通过一切可能形状构成的奇怪吸引子。这里动力学法则是决定性的,是内在的发生发展机制;形态学表现是可能性的,是外显的具体存在的临时状态。根据动力学模型,我们在原则上能够完整地给出形态学分布。但由于动力学系统对初始条件的敏感性,要想具体知道系统随时间演变的轨迹是不可能的。这是由动力学系统的非线性混沌效应所决定的。

20180409《混沌——开创新科学》:洛仑兹在探索非周期性与不可预言性之间的联系中,在一个只有3个方程式的系统中找到了一个方法。这些方程式是非线性的,也就是说,它们代表着并非严格成比例的关系。非线性系统一般说来不可解,也不能叠加,分析非线性方程的行为,就像在一种特殊的迷宫中行走一样,你每迈出一步,迷宫的墙就自动改组一次。“在一切方面,方程的性质都同时变化着,方程的阶和次都在变化着。因此,出现令人头痛的数学困难就在意料之中。”非线性意味着游戏本身就包括了改变游戏规则的方法。

20180410《混沌——开创新科学》:洛仑兹的3个方程式源于一类特殊的流体运动——对流(受热气体或流体的上升运动),并准确描述了另一个系统——洛仑兹水轮(一种力学设备

)。洛仑兹方程式描述出一个复杂图形——洛仑兹吸引子的双螺旋线,它的形状标志着纯粹的无序,也标志着一种新的有序,它揭示出隐藏在无序的数据流中的精细结构。洛仑兹的图形第一次表明“这是复杂的”一语的含义。混沌的全部丰富内容尽在于此。

20180411《混沌——开创新科学》:库恩认为一门科学走入绝境时,新科学就应运而生。科学革命常常具有跨学科的特点——它的核心发现往往来自那些走出本专业正常范围之外的人们。使这些理论家们倾心的问题经常被认为是离经叛道的臆想。他们在科学生涯中承受风险,他们往往独自工作,这种状况在对混沌的探索中一再出现。早期认识混沌的人们曾经苦于如何把自己的想法和发现表述成为可以发表的形式,这些工作介于不同学科之间。交流新思想的困难以及来自传统角落的顽固阻力,正好表明了新科学的革命性,革命就是用一种自然观取代另一种自然观。

20180412《混沌——开创新科学》:混沌这门新科学做实验时不用鼠,而用摆:这是经典力学的徽记,受约束运动的范例。然而,在摆里面还隐藏着石破天惊的奇迹。伽利略主张摆的运动周期与振幅无关,这在多数高中物理教科书中至今还作为真理来讲授。然而,这是错误的。伽利略看到的规则性只是一种近似。

摆锤运动的角度变化在方程中引入小小的非线性。振幅很小时,几乎没有误差,然而确实存在着误差。即使在伽利略的粗糙实验室里,这误差也是可以测量的。

简单系统的无秩序运动很像一种创造过程:它产生复杂性。物理学虽然完美地理解了摆的运动的基本机制,却不能把这种理解推广到长时间行为。

20180413《混沌——开创新科学》:数学家斯梅尔利用相空间,对范德波尔振子的全过程可能性进行探索,他从观察振子的总体行为中,意识到为了表示范德波尔振子的全部复杂性,对相空间应进行一种复杂的新的交换组合——“马蹄”结构。原理是简单的空间:沿一个方向拉伸,沿另一个方向压缩,然后折叠起来。这一过程不断重复,两个最终离得很近的点可能在开始时是相距很远的。这种拓扑变换提供了理解动力系统混沌性质的基础。斯梅尔马蹄成了许多新集合形状中的第一个,这些形状为数学家和物理学家提供了关于运动可能性的新直觉。

20180414《混沌——开创新科学》:一个小小的宇宙奥秘:木星上的大红斑,它是一个广袤的椭圆漩涡,就像永不移动也永不消失的一场巨大风暴。它是太阳系里最神圣的界碑之一,但那是什么?20世纪80年代初期,年轻天文学家和应用数学家马库斯对宇航局“旅行者”发回的木星红斑探测图像进行了研究,发现大红斑是一种自组织系统,它是由造成在它周围的不可预言的骚动的同样的非线性扭曲造成和调节的。这是一种稳定的混沌。

20180415《混沌——开创新科学》:20世纪具有数学倾向的生物学家们建立了一门新学科——生态学,它把现实生活的噪声和色彩都剥离开,而把种群数作为动力系统来处理。从研究理论物理与数学转向生命科学的梅,开始专注于最简单的生态问题,即单一种群在时间上的行为。他思考当种群的盛衰趋势超过临界值后会怎样。他发现加大参数意味着增高非线性的程度,不仅改变输出的数量,还改变它的性质。当参数值很低时,梅的简单模型趋向一个定态,当参数增高后,定态分裂开来,即种群数在两个交替值之间振荡。当参数值很高时,这同一个系统的行为看来不可预言。即使最简单的方程,一个分岔中的混沌区也具有错综复杂的结构,这种结构具有无穷的纵深。任何小部分被放大后,看起来都与整个图相像(混沌中的有序)。

20180416《混沌——开创新科学》:分岔是有序演化理论的基本概念,这是出现混沌的先兆。在动态系统演化过程中的某些关节点,系统的定态行为(稳定行为)可能发生定性的突然改变,即原来的稳定定态变为不稳定定态,同时出现新的定态,这种现象就叫分岔。发生分岔现象的关节点叫做分岔点,在分岔点系统演化发生质的变化。动态系统演化中的分岔现象充分说明了量变引起质变的规律。分岔又是一个阈值行为,只要系统的非线性行为强到一定的程度,就可能出现分岔。所以,凡是产生混沌的系统,总可以观察到分岔序列

20180417《混沌——开创新科学》:云彩不是球面,山峰也不是圆锥。闪电并不按直线前进,宇宙粗糙而不圆润,凹凸而不光滑。经典几何学里的形状是线和面、圆和球、三角形和锥。对于认识复杂性,它们原是一种错误的抽象。

海岸线的本质是什么?美国数学家曼德勃罗在研究棉花价格时,发现大量无序的数据里存在着一种出乎意料的有序。而在英国的海岸线有多长的问题上,曼德勃罗论证说,事实上任何海岸线在一定意义上都是无限长的。在另一种意义上,答案依赖于所用的直尺的长度。常识告诉我们,虽然(根据不同尺度)这些估值一个比一个大,但它们会趋近某个特定的最终值,即海岸线的真正长度。换句话说,这些测量应当收敛。但曼德勃罗发现,当把所用的测量尺度变小时,所得的海岸线长度无限上升。为了抓住不规则形状的本质,曼德勃罗放弃欧几里得测度,转而思考维数,并由此发现了规则:分形。

20180418《混沌——开创新科学》:自然界的分形,这个由曼德勃罗所发现的现象,是无处不在的。过去我们认为所有的形态都可以在我们整数维度空间中加以描述,比如规则曲线、球体、正方形,等等。但曼德勃罗发现,一些性质 —— 一个对象粗糙、破碎或不规则的程度——用其他方法不能明确定义,分数维度将成为测度手段。按照曼德勃罗的研究,分形的最大特点就是其形态上的自相似性。

20180419《混沌——开创新科学》:分形的意义是自相似。自相似是跨越不同尺度的对称性。(在分形中,整体和部分之间尽管形态相似,但尺度不同,所以成为跨越尺度的自相似性)它意味着递归,图案之中套图案。他们不仅在越来越小的尺度上产生细节,而且以某种恒定的测度产生细节——同样的变换在越来越小的尺度上重复。自相似性是一种很容易辨认的性质。它的形象在生活在比比皆是:站在两面镜子间的人有无数个反射像。曼德勃罗的价格图和水位图都显示出自相似性,因为它们不仅在越来越小的尺度上产生细节,而且以某种恒定的测度产生细节。

1967年法国数学家B.B.Mandelbrot提出了“英国的海岸线有多长?”的问题,这好像极其简单,因为长度依赖于测量单位,以1km为单位测量海岸线,得到的近似长度将短于1km的迂回曲折都忽略掉了,若以1m为单位测量,则能测出被忽略掉的迂回曲折,长度将变大,测量单位进一步变小,测得的长度将愈来愈大,这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值,这个极限值就是海岸线的长度。

答案似乎解决了,但Mandelbrot发现:当测量单位变小时,所得的长度是无限增大的。他认为海岸线的长度是不确定的,或者说,在一定意义上海岸线是无限长的。为什么?答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。我们知道,经典几何研究规则图形,平面解析几何研究一次和二次曲线,微分几何研究光滑的曲线和曲面,传统上将自然界大量存在的不规则形体规则化再进行处理,我们将海岸线折线化,得出一个有意义的长度。

可贵的是Mandelbrot突破了这一点,长度也许已不能正确概括海岸线这类不规则图形的特征。海岸线虽然很复杂,却有一个重要的性质——自相似性。从不同比例尺的地形图上,我们可以看出海岸线的形状大体相同,其曲折、复杂程度是相似的。换言之,海岸线的任一小部分都包含有与整体相同的相似的细节。要定量地分析像海岸线这样的图形,引入分形维数也许是必要的。经典维数都是整数:点是0维、线是1维、面是2维、体是3维,而分形维数可以取分数,简称分维。

20180420《混沌——开创新科学》:不仅仅形态上是如此,在生命现象中,其支配的规律以及发生发展的过程,也都具有这种跨越尺度的自相似性,比如个体的发育过程就是如此。可以说,中医诊断方法的有效性很大程度上是这种跨越尺度自相似性在起作用。另外,大生态系统套着小生态系统的组织原则更是如此,如果说通过局部环境的了解能够对更大生态系统的现象有所察觉,利用的也正是这种跨越尺度的自相似性

“分形”一词终于成为描述、计算和思考那些不规则、破碎、参差不齐和断裂的形状的方法代表,这些形状包括从雪花的结晶曲线到星系中不连续的尘埃。

20180421《混沌——开创新科学》:实际上对于宇宙,从微观粒子开始,其非线性作用机制本身,都是一种跨越层次多尺度的自相似性质,其中量子系统是亚原子级的,化学系统是原子级的,基因系统是分子级的,神经系统是细胞级的,生态系统是生物级的,银河系统是星球级的,宇宙系统是星团级的,它们都是非线性规律支配下的复杂系统,具有跨越尺度的自相似性。

自相似这个概念在我们的文化中显得古色古香。西方思想的古老旋律就推崇它。莱布尼茨设想过一滴水包含着整个多彩的宇宙,而这个宇宙里面又包含着许多水滴和一些新的宇宙。布莱克写到:“一粒砂中见世界”,而且科学家们往往预先有看到它的倾向。

20180422《混沌——开创新科学》:爱伦堡说:“我们的美感是由有序和无序的和谐配置诱发的,正像云霞、树木、山脉、雪晶这些天然对象一样。所有这些物体的形状都是凝成物理形式的动力学过程,它们的典型之处就是有序与无序的特定组合。”

湍流是各种尺度上的一堆无序,大涡流中套着小涡流。平滑的流体碎裂成螺旋和涡流。流体与固体的分界被凌乱的模式破坏。能量极快地从大尺度运动转向小尺度运动。传说量子理论家海森堡临终时说,他要带两个问题去见上帝:相对论和湍流。海森堡说:“我真的相信他对第一个问题会有答案。”

在相空间中,关于动力系统在单一给定时刻的知识的完全状态归结为一个点。这个点就是该时刻的动力系统。但在下一时刻,系统会改变,永远是稍稍改变,于是这个点就运动着。系统的时间史可以用这个运动的点画出来,只要随着时间的过去,追踪这个点在相空间中的轨道就成了。

为了产生一切规律,这条轨道必须是有限面积中的一条无限长的线。换一个名词说,它必须是一个分形。

20180423《混沌——开创新科学》: 埃农使用计算机模拟星体环绕银河系中心的运动轨道。中心引力源不是一个点,而是一个有厚度的三维的盘,这是一个困难的问题。一开始轨道是周期性的,随着不断提高这个抽象系统的能级,他们看到了绝对新鲜的事物。

先是卵形线扭曲成更复杂的形状,自己交叉成8字形,然后分裂成隔开的环。接着,在更高的能级非常突然地又出现另一个变化,某些轨道变得很不稳定,开始随机地散落到整页图纸上。在有一些部位还可以画出曲线;在另一些地方不能用任何曲线把点联起来,形成这些天文学家称为“岛屿”和“岛链”的形状。只要有更高的放大倍数,在越来越小的尺度上会出现更多岛屿,可能一直这样无穷继续下去。

20180424《混沌——开创新科学》奇异吸引子是反映混沌系统运动特征的产物,也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态。它具有复杂的拉伸、扭曲的结构,具有自相似性和分形结构。奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性有着密切关系,它具有不同属性的内外两种方向:在奇异吸引子外的一切运动都趋向(吸引)到吸引子,属于“稳定”的方向;一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥,对应于“不稳定”方向。奇异吸引子的一个著名例子是洛伦茨吸引子。

20180425《混沌——开创新科学》奇异吸引子具有两个主要的特点:①奇异吸引子上的运动对初始值表现出极强的敏感依赖性,在初始值上的微不足道的差异,就会导致运动轨道的截然不同。②奇异吸引子往往具有非整数维(也称分维),常需要通过计算才能加以确定。1976年,费根鲍姆发现,奇异吸引子具有标度无关性。当把标尺作适当的放大后,吸引子的细节部分具有与整体相同的结构,同一种形态在越来越小的尺度上重复,其典型例子是埃农吸引子。

20180426《混沌——开创新科学》对各种非线性数学模型的理论研究和对具体非线性系统的实验研究,揭示了系统随控制参数变化由规则运动通向混沌运动的多种典型途径,其中具有代表性的有: ①倍周期分岔道路。系统中相继出现2,4,8,…倍周期,最终进入混沌状态。极限点附近,这一系列分岔在参数空间和相空间都表现出尺度变换下的不变性,即自相似性。使用重正化群计算可得到这些分岔过程的一套普适常数,它们与实验事实相符。②准周期道路。随着控制参数的变化,系统陆续出现不动点、极限环、准周期二维环面,随即而进入混沌状态。这种混沌发生机制也发现了一些标度律和普适常数。③阵发混沌道路。这种道路表现为周期运动和混沌运动交替出现。随着控制参数接近转变点,在规则运动中不时崩发的随机运动片段变得越发频繁,最后进入完全的混沌状态。分析表明,混沌状态发生机制可用离散映射的切分岔过程解释。

20180427《混沌——开创新科学》混沌理论是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔、周期运动与非周期运动相互纠缠以至于通向某种非周期有序运动的理论。混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动,一个确定性理论描述的系统,其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测,这就是混沌现象。进一步研究表明,混沌是非线性动力系统的固有特性,是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统,而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此,在现实生活和实际工程技术问题中,混沌是无处不在的。

20180428《混沌——开创新科学》 对于什么是混沌,目前科学上还没有确切的定义,但随着研究的深入,混沌的一系列特点和本质的被揭示,对混沌完整的、具有实质性意义的确切定义将会产生。目前人们把混沌看成是一种无周期的有序。它包括如下特征: ①内在随机性;②分形性质;③标度不变性;④敏感依赖性

20180429《混沌——开创新科学》混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间,即原因与结果之间关系的一个基本性的错误认识。我们过去认为,确定性的原因必定产生规则的结果,但现在我们知道了,它们 可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果。我们过去认为,简单的原因必定产生简单的结果(这意昧着复杂的结果必然有复杂的原因),但现在我们知道了,简单的原因可以产生复杂的结果。我们认识到,知道这些规律不等于能够预言未来的行为。

20180430《混沌——开创新科学》:人们往往认为井然有序的线性规律是常规,很少人注意到其实混沌非线性现象才是普遍的,是自然界真正的灵魂所在,而那些线性现象不过是非线性的一种特例而已。“混沌”这个词本身意味着不可预见性,中国古代往往将其视作为一切事物的根本起点,甚至是宇宙的根本起源。所谓“阴阳不测之谓神”的“阴阳不测”的根本所在就是对微小变化的不可把握上,而变化不测乃是万物发生发展的本性。是故《周易·说卦》说:“神也者,妙万物而为言者也”。我们的自然正是通过无处不在的阴阳合和变化的生生不息之道,才得以“天地絪缊,万物化醇;男女构精,万物化生”

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