哥德尔、艾舍尔、巴赫 9.4分
读书笔记 第四章 一致性、完全性与几何学
蜉蝣之翼

集异壁 第四章 一致性、完全性与几何学

一、隐含意义和明显意义

1.意义产生:当规则支配的符号与真实世界中的事物之间有个同构时,意义就出现了。

2.同构越明显或者越熟悉,意义越简单。例如,人们常常把人类语言中词语的意义归于词本身,而没有意识到使词具有意义的同构是多么的复杂。

3.“什么是意识 ”是以意义为基础的同构的实质

二、《对位藏头诗》的明显意义——对意义层次的研究

1.唱机与唱片:唱片上的纹道有两层含义

(1)音乐意义:耳朵将空气中的震颤转化为大脑中的听觉神经原发射。经过大脑一系列步骤转换为情感反应。

(2)震颤序列:第二层意义有赖于相继的两个同构

i. 任意的纹道模式与空气震颤之间的同构;

ii. 任意的空气震颤与唱机震颤之间的同构。

三、哥德尔定理很大程度上是依赖于数论的陈述有两个不同层次上的意义

四、赋格的艺术

五、哥德尔的结果造成的问题

1.哥德尔说没有一个足够强有力的形式系统会在下述意义上是完备的:能够把每一个真陈述都作为定理二重现在该系统中。

2.不完全性:对于任何一个形式系统,真理超出该系统所规定的定理资格这件事。

3.哥德尔的证明发掘了人类推理与机械推理之间的差别。

六、修改了的pq系统与不一致性

1.问题:意义为什么以及怎样由同构来传送。

2.修改pq系统:

(1)增加一条公理:若x是一个短杠串,则xqxp-是一个公理。

(2)后果:--q--p-在新的系统中是一个公理。我们根据以前赋予它们的意义,可将该字符串解释为2=2+1。这是一个假的陈述。

即它造成新的系统与外部世界是不一致的。

另外,--q-p-(旧)和-q-p-(新)。新系统在第二种意义上不一致。同构赋予这两个字符串的意义相互矛盾,2不能同时等于1+1和2+1

即它造成新的系统的内部不一致。

(3)错误发生的原因:对新系统采用了同样的解释方法。上次我们使用这种解释的原因是符号操作同构于它们所对应的概念。

七、重新获得一致性

q<=>小于或者等于,则--q-p-可解释为2<=1+1;-q-p-可解释为1<=1+1。解决了上述两个矛盾。

八、欧几里得几何历史

1.公元前300年,欧几里得创作的《几何原本》从从非常简单的概念、定义等开始,逐渐地建立起许多结果,形成 了一个庞大的体系。这个体系是精心组织的,其中给出的任何一个 结果都仅仅依赖于出现在它之前的结果。在欧几 里德的《几何原理》中,用来建构证明的东西是人类语言―一种 充满隐患的复杂又难以捉摸的通讯媒介。我们用的每个词对于我们都有某种意义.在我们使用这个词 均时候引导我们。越是普通的词,我们由它引起的联想就越多,其 意义也就扎得越深。在那里他试图对 诸如“点”、“直线”、“圆”等等普通平常的词下定义。他觉得他的《几何原理》中的点和线的确实就是现实世界中的那种点和线。

(1)一条直线段可以联接两个点.

(2)一条直线上任何一条直线段可以无限延伸。

(3)给定一条直线段,可以以一个端点为圆心,以此线段为半 径做一个圆。

(4)一切直角都彼此相等。

(5)如果两条直线与第三条直线相交时,在第三条直线的某 一侧三条线所夹的内角之和小于两个直角的和,则那两条直线沿 着这一侧延伸足够长之后必然相交。

第五条公设无法证明,于是欧几里得就直接采纳了它。

接下来是对第五条公设的讨论

2.济罗拉莫·萨彻利(1667一1733)生活在巴赫的时代。他有个 饱负,要使欧几里德不带任何瑕疵。证明:假定你设定第五公设的反面,然后以这样一条公设作为你的第五公设 开始推演几何学……肯定不久之后你会制造出矛盾。因为没有任何数学系统能支持矛盾,你就表明了你自己的那个第五公设是 不可靠的,于是表明了欧几里德的第五公设是可靠的。萨彻利以他高超的技巧推演 出了“萨氏几何学”的一个又一个命题,最后终于变得厌倦了。它无意发现了后来所谓的“双曲几何学”。

3.五十年以后,兰伯特重复了这种 “失之交臂”,这次,假如能这么说的话,甚至更接近了。最后,兰伯 特之后四十年,也即萨彻利之后九十年,非欧几何学被认可了― 一个真正的几何学新品种。这是自古以来单一的数学的一个分叉 点。1823年,作为那种无从解释的巧合之一,非欧几何同时被两个 人发现了。他们是匈牙利数学家雅诺斯(或约翰),鲍耶,二十一 岁,和俄国数学家尼科莱·罗巴切夫斯基,三十岁。

4.理解非欧几何的线索是“率直对待”来自象萨彻利和兰伯特的 几何学里的命题。只是当你没能摆脱先入为主的“直线”观念时,萨 氏命题才“与直线的本质相抵触”。而若你能使自己摆脱那些先入 的印象,只让“直线”是那种满足新命题的东西,那你就达到了一个 崭新的视点。

九、未定义项

1.其中符号借助它们在定理中扮演的角色而获得被动意义。人们可以以完全相同的方式让“点”、“线”等等的意义由它们出现于 其中的定理(或命题)的集合来决定。

2.第五公设的等价公设——平行公设:给定任一直线和不在直线上的一点,存在有一条,且仅仅 存在一条通过那个点,且永不与前一条直线相交的直线,无论 两直线延伸多远。

3. 椭圆几何学:第二条直线就称为与前一条直线平行。如果你断言没有这徉的直 线存在,那么你得到的是椭圆几何学 ;椭圆几何学是很容易视觉化的。所有的‘点”、“线”

之类东西都可认作是普通球面上的东西。让我们来规定一下:作 为术语时.我们写“点”,作为日常用语时,我们写“点”.现在我 们可以说一个点由一对球面上的对径点(球的一条直径的两端点) 组成。一条线是球的~个大圆(一个圆,象赤道那样,以球心为其圆 心)。

4.双曲几何学:如果你断言至少有两条这种 线存在,你得到的是双曲几何学。

5.它们仅有 的意义是那些它们出现于其中的命题灌注进去的。汉语中的许多词,带有它们通常的意义,虽然特殊的词,如“点”和“线”其日常意义已被抽掉了.于是称作未定义项。未定义项被隐含地定义了——由它们出现于其中的那些命题全体定义.而不是在一个 定义中显明地定义。 人们可以主张说未定义项的完整定义仅驻存于公设中.因为 导出的命题已是隐含于公设中了。在这种观点下,公设隐含地定义 所有未定义项,这些定义体现于全部未定义项的相互关系之中。

十、多重解释的可能性

1.几何学的完全形式化需要一个激烈的措施:使每个词项都成 为未定的——就是,把每个词项都变成形式系统中“没有意义”的 符号。我在’‘没有意义”上加引号是因为,你也知道,那些符号自动 地具有了从它们出现于其中的定理而来的被动意义

2.符号 可以有许多有意义的解释——寻找它们是取决于观察者的。

3.一致性不单是形式系统的性质,还依赖于为之提出的解释。

十一、各种各样的一致性

1.形式系统(加上一个解释)的一致性:每个定理经解释后都成为一个真陈述,则系统加上解释是与外部世界一致的。这个定义是在谈论系统与外部世界的不一致性。

2.内 部的不一致性:如果所有的定理经解释后成为彼此相容的,则系统加上解释是内部一致的。内部一致性不要求所有的定理都得成为真陈述,只需它们能成为彼此相容的陈述。

十二、假想的世界和一致性

1.为了决定几个陈述是否彼此相容,你得设法想像一个世界,在其中它们能同时都真。所以,内部的一致性有赖于与外部世界的一致性——只是现在,“外部世界”允许是任何想象的世界.而不必是我们生活于其中的那个。

2.想象的世界是什么样的?

十三、形式系统中嵌入形式系统

1.词分成两类:一类词有固定 不变的意义,另一类词的意义有待调整,直到系统成为一致的(这 一类是未定义项)。用这种方式构造几何学,要求第一类词的意义

己经在几何学之外制定好。这些词构成一个刚性的骨架,赋予系统 个基础结构,填充那个骨架的是其它材料,它们是可以改变的 (欧氏或非欧几何学)。

2.形式系统常常就是以这种相继的、或者说分层的方式构造出 来的。举例来说,形式系统1设计好了,有一些规则和公理,它们赋 予符号以某种意向的被动意义。然后形式系统1完全合并到一个 有更多符号的更大的系统里——形式系统2。由于形式系统1的 公理和规则是形式系统2的一部分,形式系统1的符号的被动意 义仍然有效。它们构成一个不变的骨架,随后便在决定形式系统2的新符号的被动意义时起很大的作用。

十四、视知觉中的稳定性层次

1.我们获得新的知识、新的词汇,或者感知不熟悉的事物,都是以与此类似的分层方式进行的。

相对性 艾舍尔作

2.我们无法将艾舍尔画的相对性的每一部分都解释成没有矛盾的。它们都大量地依赖于对某些基本形状的识别,然后再以非标准的方式组合在一起。到观众在高层上看出悖谬的时候,就已经太晚了―他无法再回去,对怎祥解释较低层次的对象改换想法。艾舍尔的画与非欧几何学的区别在于:对于后者,能找到对未定义项的可理解的解释,得出一个可理解的完整系统;而对于前,人们关于世界的概念是不可调和的。

3.U方式(禅宗式态度):让画中的所有线条都完全没有解释,就象形式系统中的“没有意义的符号”。这种彻底的逃避途径是“U方式”反应的一个例子。

十五、数学在每个可想象的世界里都是一样的吗?

1.什么东西是所有可想象世界所共有的?

2. 从某种意义上讲,仅仅作为发明出来的概念,我们已表明这种世界是可想象的。如果我们想要有所交

流,看来就得采纳某种共同基础,而逻辑几乎.总是得包括进来的。(有些信仰系统是拒斥这种观点的―它太逻辑化了。)

十六、数论在每个可想象的世界里都是一样的吗?

1. 如果我们假定逻辑是每个可想象世界的一部分是否就行了?真的能想象某些世界没有无穷多素数吗?或者把自然数当做未定义项。

2.存在这样的一个核心数论,它应该与逻辑一起包含在我们认为是“可想象的世界”里,这似乎是大多数当代数学家和哲学家的共识。这个数论的核心―一绝对几何学的对应物―被称作皮亚诺算术.

3.哪种几何是正确的?爱因斯坦给出:认为宇宙的儿何性质是被其内含的质量所确定的,因此

没有哪种几何是空间自身所固有的。

4.是否存在不同的“数论”? 从实际应用的角度看,所有的数论都是一样的.换句话说,不同的数论的存在不会造成什么影响,因为在与现实世界有关的那些方面,所有的数论都是重合的。

十七、完全性

1. 一致性:每个定理经解释后都成为真的(在某个想象的世界里)——符号获得被动意义的最低条件。

2.完全性:所有真的(在某个想象的世界里)且可表示成系统中的良构符号串的陈述都是定理(换句话说,每个能由系统中的概念表示出来啊的真陈述都是系统中的定理)——符号获得被动意义的最高条件。

3.pq系统具有完全性,因为任何两个正整数的加法式子都是在系统内可证的。误解:三个正整数的加法式子不可证,比如:------q-p--p---。解答:该字符串在pq系统中不是良构的。

4.哥德尔不完全性定理说的是任何“足够强有力”的系统,由于其能力较强,因而是不完全的.即:存在良构的符号串,表示了数论中的真陈述,但不是定理。(有属于数论的真陈述在系统内不可证。)pq系统这样的系统是完全的,但能力不强。

十八、一个解释怎样就能达到或者破坏完全性?

完全性是被动意义的最高确认:如果一个系统是一致的,但不完全,符号和其解释之间就会错配。系统没有能力为那样的解释作辩护。有时,如果把解释稍稍“修剪”一下,系统就会变得完全。

十九、形式化数论的不完全性

在数论里我们会再次碰到不完全性。但在那里,为了挽救局面,我们被推向另一方向―增加新规则,使之增强能力。具有讽刺意味的是,每次我们增加一条新规则.我们就想,现在我们肯定使系统完全了。

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