哥德尔、艾舍尔、巴赫 9.4分
读书笔记 第三章 图形与衬底
蜉蝣之翼

集异壁 第三章 图形与衬底

一、素数之别与合数

1.印符操作:

(1)读入并认出有限的符号集合中任何一个符号;

(2)写下属于该集合的任何一个符号,

(3)把任何一些那样的符号从一处复制到另一处;

(4)删除任何一些那样的符号.

(5)检测一个符号是否与另一个符号相同,

(6)保存并使用一列以前产生的定理。

2.使用印符操作构造出一个形式系统,使得在其中的素数和合数能够区分开?

二、tq系统

1.字符:t q - ,使用X Y Z表示短杠符号串x、y、z中的短杠数目

2.意义:t<=>乘

3.公理模式:xqxt-是一个公理,对于任何一个短杠符号串x都是如此。

4.推理规则:设x、y、z都是短杠符号串。设xqytz是个已有的定理,那么xyqytz- 是一个新的定理

三、把握合数

定义形如Cx的新定理来刻画合数。

1.规则:设x、y、z都是短杠符号串。如果xqy-tz-是定理,则Cx是定理。

2.意义:X是合数当且仅当它是两个大于一的数的乘积

四、对素数的非法刻画

草拟形如Px的新定理来刻画素数。

1.草拟的规则:设x是短杠符号串。如果Cx不是定理,则Px是定理。

2.缺陷:Cx是否是定理并非印符操作,它要求你非形式化操作即到系统之外去。印符操作只能产生定理,要得到一张非定理的表必须在系统之外操作。

3.目前所有的定理都有一个共同的形式,那么所有的非定理是否都有一个共同的形式呢?

五、图形和衬底

1.图形:画在画框里的人物、静物等,或称正空间

2.衬底:负空间、背景。

3.流畅可画:衬底仅是绘画过程中的副产品。

4.倍流畅:衬底本身也可视为一个图形。

5.图形和存底之间的界限不明显

6.当我们构思我们的印符数论(即TNT)时,我们将希望能用两 种类似的方式来刻划所有的数论假陈述的集合:

(1)作为TNT的所有定理的集合的负空间;

(2)作为TNT的所有定理的集合的变形副本(通过否定每 个TNT定理而得到)。

但这个希望将破灭,因为:

(1)在非定理组成的集合中有真理。

(2)在所有被否定的定理组成的集合之外有“假理”.

六、音乐中的图形与衬底

1.旋律和伴奏:在巴赫的音乐里各个声部不论高低都起着“图形”的作用。

2.强半拍和弱半拍:

七、递归可枚举集之别与递归集

1.回到上面的形式系统,正空间由C型定理表示,负空间由带素数个短杠的符号串表示。问题:把素数表示为正空间。

2.存在一个形式系统,其负空间(非定理集)不是任何一个形式系统的正空间(定理集)

3.存在非递归的递归可枚举集。

4.递归可枚举集对应“流畅可画 ”,它能按照印符规则来生成

5.递归对应“倍流畅”

6.存在一些形式系统,它们没有用印符规则表述的的判定过程。

八、素数作为图形的衬底

用BZC表示一个数不整除BZC另一个数;数Z在直到X的数内没有因子,记做zMYx

1.公理:xyBZCx,其中x和y是短杠符号串

2.规则:若xBZCy是个定理,则xBZCxy是个定理。

3.规则:如果--BZCz 是个定理,则zMY--是个定理。

4.规则:如果zMYx与x-BZCz:都是定理,则zMYx-是个定理。

5.规则:若z-MYz是个定理,则Pz-是个定理。

例子:

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