Mathematics for Computer Science 9.8分
读书笔记 Axioms
Xinyi Li

平行公设(Parallel Postulate)可以根据适用范围不同分成三个版本(alternatives? )

1. Given a line l and a point p not on l, there is exactly one line through p parallel to l
2. Given a line l and a point p not on l, there is no line through p parallel to l
3. Given a line l and a point p not on l, there are infinitely many lines through p parallel to l

其中公理(Axiom)1为Euclid geometry的假设,2为spherical geometry的假设,3则是hyperbolic geometry中的假设。但这三个公理很难说其中哪个优于另外两个,只是适用背景不同。公理集(A set of axioms)可以用两个性质来描述:

1. 一致的(consistent)指的是

no proposition can be proved both true and false

这些公理中没有哪个命题可以同时被证明为真和假,这是必要的,如果不满足一致性,那么公理的证明毫无意义。

2. 完备的(complete)指的是

every proposition can be proved or disproved

每个命题都可以被证明成立或者不成立

但是同时满足这二者的公理集很难找到,Bertrand Russell和Alfred Whitehead一生都没能找到这样的基本算术的公理集,Kurt G¨odel后来直接证明了对于基本算术来说,一致的,完整的,有限的公理集是不存在的。也就是说具备一致性的任何公理集都是不完备的,会存在无法被证明的正确的命题,比如哥德巴赫猜想猜想(Goldbach’s conjecture)

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