哥德尔、艾舍尔、巴赫 9.4分
读书笔记 第二章 数学中的意义与形式
蜉蝣之翼

集异壁之大成 第二章 数学中的意义与形式

一、pq系统

1.符号:p q -

2.公理判定过程:只要x仅由一串短杠组成,那么x-qxp-就是一条公理。

3.规则:假设x,y,z都代表只含短杠的特定的符号串,并且假设xqypz是一条已知的定理,那么x-qypz-就是一条定理。

二、判定过程

是否是定理的标准,是后两组短杠加起来是否等于第一组短杠。

测试一条字符串是否为定理的步骤:

1.首先利用公理判定过程,判断是否为公理,如果是,则该字符串是定理;不是,则该字符串不是定理

2.利用判定过程潘丹是否为定理,如果是,则该字符串是定理;不是,则该字符串不是定理。

三、自底向上值别于自顶向下

1.自顶向下:对于一个给定的定理,根据pq系统的规则,我们可以找到生成该定理的更短的那个符号串。我们以这样的方式,一步一步回溯时就一定会发现某个无法再后退的点,即公理。

2.自底向上:从最简单的公理开始,对每一个公理都应用推理规则,得到一些定理。对所有定理都应用推理规则,得到更多的定理;再对所有定理都应用推理规则……用这种方法就可以生产出pq系统所有的定理。测试一个符号串是否为定理,只需要按照上述步骤,不断地检查是否出现了该符号串。如果它出现了,那么它就是定理 。如果到了某一时刻,产生出来的定理都比该字符串要长,则它不是定理。

四、同构产生的意义

1.pq系统的解释:我们可以这样理解:p——plus;q——equal;-----q--p---:5=

2.同构:两个复杂的结构可以相互映射,并且每一个结构的每一部分在另一个结构中都有一个相应的部分。

3.相应:在格子的结构中,相应的两个部分起着相类似的作用。

4.同构的意义:认识到两个已知的结构有同构关系是知识的一个重要发展。对同构的认识在人的头脑中创造了意义。

5.解释:符号与此之间的对应关系,例如 :

q <=> 等于

p <=> 加

- <=> 1

--<=> 2

……

6.真陈述(真理)与定理之间存在着对应

7.“当你遇到一个一无所知的形式系统,并且加入你希望去发现它某种隐藏的含义时,你的问题就在于如何给它的符号赋予一种有意义的解释——也就是,通过某种方式。使得在真陈述和定理之间出现一个搞成次的对应”

8.建立一个形式系统,他的定理同构地反映一部分现实世界。

五、有意义的解释与无意义的解释

形式系统中的意义与语言中的意义之间的区别:

1.在语言中,当我们知道了一个记号的意义,我们就能基于这个记号做出新的陈述。在某种意义上说,语言的意义是主动的,因为它为创造句子带来了一条新的规则。当我们知道了新的意义是创造句子的规则也增加了。

2.在形式系统中,订立都是通过产生式规则事先定义了的,我们可以选择以定理与真陈述之间的同构为基础的“意义”。但是不允许有超出规则之外的东西。在形式系统中,意义一定是被动的。我们可以根据其组成符号的意义来读每个符号串,但是我们没有权利只根据我们给符号制定得意义而创造出新的定理。

六、双重意义

1.pq系统的另一种解释

q <=> 减

p <=> 加

- <=> 1

--<=> 2

那么-----q--p---可解释为:5减2等于3

2.解释只要精确地反映现实世界的某种同构,就是有意义的。

3.在形式系统中,良构符号串的含义就是:当对它一个一个符号地去解释是,就产生合法的句子。

七、形式系统和现实

1.现实世界和形式系统是互相独立的,并不需要意识到在两者之间存在着同构关系。

2.构造形式系统能否就其论域中的真理给我们一些启发?答:不能。例如pq系统没有让我们发现新的加法

3.现实世界的哪一部分能够用形式系统来加以模仿?

八、数学与符号处理

1.假如我们尝试按照某数学分支构造一个形式系统,我们如何确定我们是否已把这项工作做的很准确了呢?

九、算数的基本法则

1.加法的交换律和结合律:数的结果与计算方法无关,------------------数一数有几个

2.乘法的交换律和结合律:以各种方式旋转那个长方体时,小立方体的数量不会改变

3.抽象的书与日常生活中的我们使用的数有很大区别:一朵云彩分成了两朵:1=1+1

十、理想的数

1.在数的抽象概念中,就有那么一种纯净的东西,独立于念珠、方言或者云朵。应该有一种谈论数的方式,这种方式不会总是受到现实所具有的那种糟糕状况的侵入和捣乱。

2.理想的数和规则构成了数论;形式系统的规则是否能彻底把握数的性质?尤其是那些不能通过计数找出来的,甚至在理论上也不足以提供答案的性质

3.欧几里得定理:有无穷多个素数。

证明:无论挑出哪一个数,都还有一个比它大的素数。

挑出一个数N,则 N!+1

不能是2的倍数(因为当被2除时,余1);

不能是3的倍数(因为当被3除时,余1);

不能是4的倍数(因为当被4除时,余1);

……

不能是N的倍数(因为当被N除时,余1);

假如N!+1 能被除尽,则存在一个比N大的素数。如果N!+1 不能被除尽,则N!+1 就是素数。

无论如何都有一个比N大的素数。

4.对于欧几里得定理证明,虽然每一个单个推理步骤看起来是显然的,但最后的结果不显然。我们永远也不能直接地检查这个陈述是否为真。我们选择相信推理。

5.证明是数学家约定俗成的一种模式:每一个成熟都以一种不可抗拒的方式与前一个成熟有着联系。这个模式具有特定的风格、由符号组成的词汇。

十一、绕过无穷

1.在上述证明中我们使用了一些词语来绕过无穷:不论N是一个什么数、所有……

2.使用“所有”的可能方式是由推理的思维过程来规定的。我们也许没有意识到使用这个词的规则,并且倾向于认为是在这个词的意义的基础上操作的,即把思维的运转过程归因于意义。

3.证明一般是由许多小的步骤组成。而我们经常把许多步骤压缩在一起形成单句。

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