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௵ (草履虫会梦见哥德尔吗?)
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这里对箭头乘积 ($f_1 \times f_2$) 的定义描述不是很清晰: If we choose one such product diagram ($a_1 \leftarrow a_1 \times a_2 \rightarrow a_2$) for each pair of objects, then ($\times$) becomes a functor when ($f_1 \times f_2$) is defined on arrows ($f_i$) by ($p_i(f_1 \times f_2) = f_i p_i$). 这样写可能更好懂些: 对于箭头 ($f_1 : a_1 \to b_1$) 和 ($f_2 : a_2 \to b_2$), 我们有从 ($a_1 \times a_2$) 到 ($a_i$) 的箭头 ($p_i$), 以及从 ($b_1 \times b_2$) 到 ($b_i$) 的箭头 ($q_i$),那么 ($<f_1 p_1, f_2 p_2>$) 做成了从 ($a_1 \times a_2$) 到 ($<b_1,b_2>$) 的一个 cone;另一方面 ($b_1 \times b_2$) 有到 ($<b_1,b_2>$) 的一个 universal cone,因此根据 universal 的定义,一定有从 ($a_1 \times a_2$) 到 ($b_1 \times b_2$) 的唯一箭头,即 ($f_1 \times f_2$),它满足 ($ q_i(f_1 \times f_2) = f_i p_i$). 注意 MacLane 原文中等式两头写的都是 ($p_i$) ,这容易让人产生误解,因为实际上左边的 ($p_i$) 是对应于 codomain 的,右边的 ($p_i$) 则是对应于 domain 的。作为比较,我的写法里把对应于 codomain 的那组箭头标记为 ($q_i$),跟 ($p_i$) 做了区分。
说明 · · · · · ·
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