第三章 黎曼内稟曲率张量

本章内容大致与作者老师所作 http://book.douban.com/subject/1768648/ 第三章相同 适合交叉阅读
-
几何学的目的是研究单参变换群下的不变量 此过程开发出来的几何语言常用于描述物理世界
在欧氏几何中这些不变量通常由 点 矢量 距离 夹角等概念描述
欧氏空间是平直的 矢量沿任何轨迹的平移都不会影响夹角 两条平行线永远也不会相交 但经验发现 欧式几何不足以描述物理世界的规律

-

在微分几何中 空间不再假设为平直的 每一点上都有局部特殊的矢量空间 这些矢量被定义为该点上的泛函 微积分中的导数算子也被推广到这些矢量及相应的张量上 且可以写作偏微分算子与克氏符的形式
($$\nabla _{a}t^{b}=\partial _{a}t^{b}+\left. \Gamma ^{b}\right. _{ac}t^{c}$$)

-

为了比较矢量 ($v$) 在某曲线上的平移由以下包含导数算子的微分方程定义 其中 ($T$) 为曲线的切矢
($$T^{a}\nabla _{a}v^{c}=0$$)
($$T^{a}\left( \partial _{a}v^{b}+\left. \Gamma ^{b}\right. _{ac}v^{c}\right)=0$$)
($$\frac{dv^{\mu }}{dt}+\sum T^{\lambda }\left. \Gamma ^{\mu }\right.
_{\lambda \nu }v^{\nu }=0$$)
若要求矢量在平移过程中夹角不变（内积不变） 则导数算子可由度规张量唯一确定 其微分方程为
($$0=\nabla _{c}g_{ab}=\bar{\nabla}_{c}g_{ab}-\left. C^{d}\right._{ca}g_{db}-\left. C^{d}\right. _{cb}g_{ad}$$)

-

将欧氏几何中直线的概念进行推广 定义测地线为切矢沿自己平移的曲线 对应方程为
($$0=T^{a}\nabla _{a}T^{b}=T^{a}\partial _{a}T^{b}+\left. T^{a}\Gamma^{b}\right. _{ac}T^{c}$$)
($$0=\frac{d^{2}x^{\nu }}{dt^{2}}+\underset{\mu ,\sigma }{\sum }\left. \Gamma^{\nu }\right. _{\mu \sigma }\frac{dx^{\mu }}{dt}\frac{dx^{\sigma }}{dt}$$)
从上面的常微分方程易知 和欧式空间类似 在流形上 一个点和该点的一个矢量确定一条测地线
和欧氏空间不同的是 流形上 两点间测地线不一定最长 但其长度一定是极值
如在狭义相对论中的闵氏时空 两点间总纯在长度为0的类光曲线

-

既然微分几何舍弃了欧氏几何的平直假设 因此作为定量分析空间内稟曲率的工具 黎曼曲率张量被定义为
($$\left( \nabla _{a}\nabla _{b}-\nabla _{b}\nabla _{a}\right) \omega_{c}=\left. R_{abc}\right. ^{d}\omega _{d}$$)
欧式空间和闵氏时空的黎曼曲率张量都为零 因此其空间被称为平直的
黎曼曲率张量还能用来描述使空间连续性破裂的奇点 如黑洞

-

利用黎曼曲率张量的一些基本性质 可定义里奇张量与标量曲率 并用于定义爱因斯坦张量 及广义相对论中的爱因斯坦方程中

-

关于空间的曲率 可分为外稟曲率与内稟曲率
如在三维空间里观察一个弯曲的二维曲面 这样观察到的弯曲被称为外稟曲率 因为这是从二维曲面 外 的三维空间所作出的观察
若我们人在四维的时空中 发现重力作用下空间发生了弯曲 这样观察到的弯曲被称为内稟曲率 因为这是在弯曲空间内部作出的观察