微分几何入门与广义相对论(上册·第二版) 9.2分
读书笔记 流形和张量场
李瞬生

本书第二章与梁灿彬老师所作的(http://book.douban.com/subject/1768648/)第二章内容和结构大致相同 梁灿彬的教材概念介绍更详细 例子更多 其老师的书更简明扼要 两书宜搭配使用 数学是一门语言 可以描述物理世界 物理中至关重要的是对称性 相对论的发现说明了欧氏几何只是物理世界的低速近似 物理空间的结构需要用非欧几何的语言来描述 上一章介绍了基础的拓扑结构的语言 用来描述空间的连续性 这一章介绍了光滑流形上的基础微分几何语言 将欧氏几何里方向和距离的概念推广到非欧几何 微分流形是具有拓扑结构和微分结构的空间 为了在拓扑结构上引入微分结构 要求流形在局部上与欧式空间相似(同胚) 这样在欧氏空间里定义的坐标系就可以用来描述流形及定义微分了 虽然流形在局部上与欧式空间相似 但定义流形的目的是描述非欧几何 因此矢量与距离的概念需要被推广到流形上 流形上的矢量被定义为一点上的方向微分 满足线性法则和莱布尼茨法则 这样流形上的每一个点就有一个独立于坐标系的矢量空间了 欧式空间里的矢量可看做两点的坐标差 因为欧氏空间是线性的 而流形上的矢量不具有这种诠释 因为流形描述的空间可以是弯曲的 而曲面上两点的坐标差意义不明 对于任意特定坐标系 矢量空间都有一组对应的偏微分算子的基矢 任意矢量可以表示为其线性组合 流形上矢量的一个例子是切矢量 曲线被定义为流形上由R参数化映射 使用链式法则可以定义曲线每一点上的切矢量 流形到R的映射被称作流行上的标量场 流形到切矢的映射被称作流形上的矢量场 矢量场的例子是从单参数微分同胚群引出的曲线族的流形到切矢的映射 单参数微分同胚群可看作是点到曲线的映射 把该曲线的切矢作为该点的矢量 就定义了一个流形上的矢量场 单参数微分同胚群对应的曲线族 可引出一个矢量场 从特定矢量场也可引出一个曲线族 这些曲线被称作积分曲线 这些曲线在流形上每一点都与矢量场相切 所以它们是对应微分方程的解空间 有了矢量 要描述几何 还需在流形上定义距离 由线性代数定理可知 任意矢量空间都可引导出一个对偶矢量空间 张量定义为从对偶矢量空间幂与其对应矢量空间幂的卡氏积空间到R的多重线性映射 标量可看作(0,0)型张量 根据对偶关系 矢量可看做(1,0)型张量 对偶矢量可看做(0,1)型张量 高阶张量可看作对偶矢量与矢量的张量积 标量场 矢量场 都是张量场的特例 度规定义为(0,2)型张量 对应欧式空间的内积 由测度可引导出线长(距离)的定义 因张量是多重线性的 张量空间是矢量空间 可由特定基底线性表示 度规是(0,2)型张量 因此其线性表示可记作一方形矩阵 欧氏空间的度规矩阵是正定的 闵氏空间(狭义相对论的时空)的度规矩阵的第一个对角元素为负其余为正 该度规被称为洛伦兹度规 闵氏空间里 光的轨迹曲线的度规为零 被称作类光曲线 观察者的轨迹曲线的度规为负 被称为类时曲线 没有因果关系的曲线度规为正 被称为类空曲线 因为度规亦可看做矢量到对偶矢量的可逆映射 在定义了度规的流形上 对偶矢量与其对应的矢量可等价 本章最后还通过冗长的篇幅介绍了抽象指标记号 以简化张量的符号表达

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