第287页 一致收敛
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使用函数列的极限来表示一个函数是因为使用这种方法,可以用简单的函数来逼近复杂、晦涩的函数。是一种化繁为简的方法。 并且如果这种逼近具有一定的性质(一致收敛)的话。得到的极限函数还会保留一些这个函数数列所共有的性质。如 连续性 可微性 和可积性。 书上对于函数极限的定义与一般大学教材里的不尽相同。使用的不是大学分析(我实在不知道大学学的数学分析是什么,实分析超入门+微积分?)中的去除中间点的定义,而是使用了一个集合包含了逼近该点的范围。显然,这种定义是包含原数学分析中的定义的。而且更加复杂,宽阔。而且这种定义更容易向拓扑空间进行延拓。(TAT,拓扑空间是神马……木有看。。。有时间再说吧。。。) 逐点收敛 和 一致收敛之间的关系数分中已经讲的很清楚了。 因为逐点收敛的性质极其不好。所以,它基本上就没有用。只不过是点列收敛的概念向区间上的简单延拓。最多因为其与一致收敛的必要关系,用于反证法罢了。 而一致收敛就相当有用了。 首先,一致收敛保持函数序列的连续性。也具有极限的可交换性,这样对于一些直接求不好求的极限便可以使用交换的极限符号的方法来求(我在习题14.7.2就用了这个方法,深刻感到了这个东西的好处)。有一点是大学分析课上没有强调的。就是极限的可交换性和保持连续性并不是同一个东西,在14.7.2中也得到了相当好的印证。 而后便是最最重要的部分了: 将函数作为一个度量空间来看待。使用的度量是上确界范数度量(可见是专门为一致收敛设计的度量)。 这个度量空间是由X->Y的所有有界函数构成的。一致收敛与在该度量空间中收敛的等价关系也容易臆想到。无界函数上上确界度量可能为无穷大,此时无意义。(不过有的无界函数还是一致收敛的) 如果是连续函数,那么这个空间还是完备的。 函数级数在这里并不像大学分析课上讲的那么详细。可能这本书只是一个guide类型,不涉及太多的具体计算。 只介绍了weierstrassM判别法。首先这之后函数值域的度量空间就是在装备了标准度量的R了。因为在R上已经建立了 加法。而级数需要用到加法。 逐点收敛和一致收敛的定义与函数序列基本相同,做出部分和这个有限概念,然后从这个概念推向无限。 因为R是完备的,所以cauchy列与收敛列等价。 然后便是M判别法的建立,这个与大学数分书上有些许区别。大致思想是一样的。通过 上确界范数 将 序列中的每一个函数变为一个数,使用一般级数收敛判别。 有个地方我不是很懂。为何一定要是“连续”函数空间才是完备的?这也引出了后面为何一定要是有界实值连续函数的序列才能用M判别法。 与积分和与导数的关系实质是一样的。 积分说了三件事 1 极限的积分存在 2 积分的极限存在 3 两者相等。 微分也说了三件事 1 原函数一致收敛于函数f 2 f可微,有导函数g 3 g等于fn导数的极限。 从以上可以看出,一致收敛是非常有价值的。而建立一致收敛概念的核心也是为了保持这三大特性:连续(或者是极限,上文说过这两者不等价),积分,微分。 习题中说明了导函数连续的条件是不必要的。但如果导函数连续的话,那么还有更好的性质。也就是积分中与之对应的1和3。 具体关系,参见下图(极度意淫。。。大概只有我能看懂?) (待懒惰的我何时把图片从手机拷上来) 最后一块内容是多项式的逼近。 大概只有一致的概念是与这章挂钩的。 其他概念都比较新,支撑,紧支撑。 (强势插入:我最近发现很多概念都有两个,大概就是,一个是说具体是什么,另一个是说性质。第一个比较强力,第二个放宽一个条件,然后英文上加上ed。以后自己写东西的时候也要记得一起创造这两个。特别好用。支撑和紧支撑大概就是这种关系吧) 对于恒等的逼近。 卷积。 结果还是相当具有观赏性的。 值得留意的习题: 我建议习题顺着刷一遍,这本书的习题太精彩了。我这种从不刷题的人都基本顺着做了。 14.2.1 14.2.3 14.3.8 14.7.2 14.8.2 14.8.8 p.s.待我下周学会latex我的读书笔记一定不会这么丑了!TAT。。。 p.s.s 豆瓣你真的需要吃掉我的所有换行么。。。。
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