逻辑基础 7.8分
读书笔记 第二章 命题逻辑(一)
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2.1 命题联结词与命题形式 命题逻辑的常项是命题联结词:否定词,合取词,析取词,蕴涵词,等值词。 命题可以分为两类:一类是简单命题,另一类是复合命题。简单命题不含命题联结词,而复合命题含有命题联结词。命题联结词所联结的命题,即那些构成复合命题的命题,也叫支命题。 五个命题联结词: 一.合取词 我们用“并且”表示合取词,以“并且”联结的命题叫合取命题。例:鲁迅不仅是文学家,而且是思想家。一边欢呼,一边跳跃。修身,齐家,治国,平天下。 合取词的日常表达多种多样;合取联结词的形式不仅不同,甚至可以不出现;可以联结两个命题,也可以联结三个,四个命题。这三个特点的共同性是表示并列。因此,这样的命题也叫联言命题。 二.析取词 我们用“或者”表示析取词。以“或者”联结的命题叫析取命题。例:签字或盖章。也许你说得对,也许他说得对。 析取命题表达的是选择,因此也叫选言命题。与合取命题不同,表示析取命题的析取词一般一定要出现。否则,易与合取命题造成混淆。 三.蕴涵词 我们用“如果,那么”表示蕴涵词。以“如果,那么”联结的命题叫蕴涵命题。例:如果X>1,那么X^2>1。学好文化知识,才能报效祖国。违者罚款。不入虎穴,焉得虎子。 蕴含命题表达的情况比较复杂。首先,内容具有多样性,可表原因和结果,可表条件和后果。其次,在表达方式上也是多种多样的。过去人们认为,这类命题最主要的特征是表达了一个命题对另一个命题起着原因,条件等等作用,因此也把他们叫做假言命题,条件命题。 四.否定词 我们用“并非”表示否定词。以“并非”联结的命题叫做否定命题。例:不入虎穴,焉得虎子。并非闪光的东西都是金子。贾宝玉不爱薛宝钗。我不是不想去。 否定命题相当于日常语言中含有否定表达的句子。 五.等值词 我们用“当且仅当”表示等值词。以“当且仅当”联结的命题叫等值命题与。与前几类命题不同,这类命题一般在科学中使用。例:一个三角形是等边的,当且仅当,它是等角的。 由此可见,一个等值命题的意思相当于两个蕴涵命题的合取。它是由一个表示合取的“且”联结两个表示蕴涵的“当”构成的。“人不犯我,我不犯人;人若犯我,我必犯人。”这样的表达一般被看成“我犯人当且仅当人犯我”。日常用语中也有与等值词相近的表达,这就是“也就是说”。例:如果你去,我就不去。也就是说,或者你不去,或者我不去。 注意:等值词是有其他命题联结词构成的。这与其他命题联结词形成显著区别。 五个联结词(逻辑常项)所联结的命题叫变元。若以p,q,r,s等小写字母表示命题变元,有上述联结词把他们联结起来,就得到相应的命题形式: 否定式:并非p ¬p 合取式:p并且q p∧q 析取式:p或者q p∨q 蕴含式:如果p,那么q p→q 等值式:p等值q p↔q (逻辑符号表:http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%BB%E8%BE%91%E7%AC%A6%E5%8F%B7%E8%A1%A8) 对命题形式的分析只是手段,最终的目的还是要说明推理的有效性。 2.2 真值形式:否定词,合取词,析取词 命题逻辑考虑问题的出发点主要是从真假的角度出发,因此只取真假两个值进行考虑。真和假两个值叫真值,所以命题逻辑也叫真值逻辑。简单地说,命题联结词的涵义就是支命题的真假和它们所构成的复合命题的真假之间的关系,这样的关系被称为真值函数。 否定词: 对任何命题p,如果p是真的,那么¬p是假的,如果p是假的,那么¬p是真的。 (1)有人长寿(2)有人不长寿(3)资本主义国家都是实行计划经济的(4)资本主义国家不都是实行计划经济的。(5)资本主义国家都不是实行计划经济的。(2)是(1)的否定,但不是真值否定,(4)是(3)的真值否定,(5)不是(3)的真值否定。 合取词: 对任何命题p和q,“p∧q"是真的,当且仅当p和q都是真的。否则,”p∧q“就是假的。 只要有一个支命题是假的,整个合取命题就是假的。 注意:它与日常表达的涵义是有区别的。根据真值表,重要的是两个支命题的真值,而不是他们的位置,也就是说,交换它们的位置,整个命题的真值不变,即p∧q等于q∧p。但在日常表达中,有时却不能这样。例:(1)他们结了婚,并且有了孩子。(2)他们有了孩子,并且结了婚。(3)电脑技能和驾驶执照是求职的基本条件。(4)屡战屡败(5)屡败屡战 析取词: 对任何命题p和q,”p∨q“是真的,当且仅当p和q中至少有一个是真的。 析取词与合取词具有对偶性。只有两个支命题都是假的,整个析取式才是假的。有人把用“或者”表达的析取叫做相容析取,把用“要么”表达的析取叫做“不相容析取”,用“Δ”表示。 对任何命题p和q,pΔq是真的,当且仅当p和q恰好有一个是真的。 不相容析取“要么p,要么q”所表达的涵义实际上相当于“p或者q”,并且并非“p并且q”,即它相当于一个析取式和一个否定的合取式。即表达为(p∨q)∧¬(p∧q)。 2.3 真值形式:蕴涵词,等值词 在命题联结词中,与推理联系最密切的是蕴涵词,因此从逻辑的角度看,蕴涵词最为重要。 蕴涵词: 对任何命题p和q,“p→q”是真的,当且仅当不能p是真的而q是假的。 只要前提是假的,或者只要结论是真的,蕴涵命题就是真的。只有在前提真而结论假的情况下,蕴含命题才是假的。这样的涵义由于只从真假的角度考虑,被称为实质蕴涵。 在日常表达中,“如果p,那么q”可以表示充分条件关系,直观的表达式:有p就有q。“只有p,才q”表示必要条件关系,直观的表达是:没有p,就没有q。“如果p,那么q”可以表示虚拟语气。 实质蕴涵有两个特点: 1.只要前提是假的,实质蕴涵就是真的;只要结论是真的,实质蕴涵就是真的。由此得出,一个实质蕴涵为真的条件是:或者前提是假的,或者结论是真的。因此“p→q”等值于“¬p∨q”。 2.一个实质蕴涵是真的,就不能前提是真的而结论是假的。因此,“p→q”等值于“¬(p∧¬q)”。 等值词: 对任何命题p和q,"p↔q"是真的,当且仅当,p和q都是真的或者p和q都是假的。 两个支命取值相同,整个等值命题就是真的。 由于等值词相当于两个蕴含式的合取,因此“p↔q”等于是“p→q”和“q→p”的合取,即等值于“(p→q)∧(q→p)”。等于p∧q与¬p∧¬q的析取,即等值于“(p∧q)∨(¬p∧¬q)”。

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