研究之美 8.4分
读书笔记 进展
Chen Yufei

书中用数学归纳法证明 ($x \leq x_L$) 不成立一笔带过了,记录下详细过程。 证明 ($x \leq x$),需要证明 ($X_L \not \geq x, x \not \geq X_R$)。 反证,假设 ($x \leq X_L$),则 ($x \leq x_L$) (($x_L$) 为 ($X_L$) 中任意元素)。 而 ($x \leq x_L$) 意味着 ($X_L \not \geq x_L$),($x_L$) 作为 ($X_L$) 的一个元素也有 ($x_L \not \geq x_L$)。 这就是说如果 ($x \leq x_L$),则有 ($x_L \not \geq x_L$)。以此类推,由 ($x_L \leq x_{LL}$) 可得 ($x_{LL} \not \geq x_{LL}$)。不断递归可以得到 ($0 \not \geq 0$)。这跟前面证明的 ($0 \leq 0$) 矛盾。故 ($x \leq X_L$) 不成立,也即 ($X_L \leq x$)。 证明 ($x \not \geq X_R$) 可以使用完全相同的方法。 有 (T3): ($x \leq x$) 之后即可证明 (T2): ($X_L \leq x \text{且} x \leq X_R$)。 相似的定义: ($x \equiv y$) 等价于 ($x \leq y, y \leq x$)。 对 (T4): 若 ($x \not \leq y$), 则 ($y \leq x$),这里可以得到更强的 ($y < x$)。其实 ($y < x$) 定义为 ($x \not \leq y$) 且 ($y \leq x$) (T4) 保证了如果有 ($x \not \leq y$),则一定有 ($y \leq x$)。

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